5.8 Um tanque rigido com volume de 0.1 \mathrm{~m}^{\prime} contém nitrogènio a 900 K e 12 MPa O tanque é. então, resfriado até que a temperatura atinja -10^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o trabalho realizado e o calor transferido neste processo?

Passo 1

O enunciado diz que um tanque rígido (volume constante) de volume \;0{,}1\\ \mathrm{m}^3\; contém nitrogénio nas condições iniciais \;T_1=900\\ \mathrm{K}\; e \;P_1=12\\ \mathrm{MPa}\;. O tanque é resfriado até a temperatura final \;T_2=-10^\circ\mathrm{C}=263{,}15\\ \mathrm{K}\;.
Perguntas pedidas: calcular o trabalho realizado e o calor transferido durante o processo.
Informações importantes do enunciado (lista):
  • Volume constante: \;V=0{,}1\\ \mathrm{m}^3\;.
  • Estado inicial: \;T_1=900\\ \mathrm{K},\; P_1=12\\ \mathrm{MPa}\;.
  • Estado final: \;T_2=-10^\circ\mathrm{C}=263{,}15\\ \mathrm{K}\;.
  • Sistema: nitrogénio (gás), tanque fechado (massa fixa).
  • O que pedem: trabalho W e calor Q.

Passo 2

Princípio físico usado (primeira lei para sistema fechado) e conclusão imediata sobre trabalho.
A primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado pode ser escrita como
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do sistema, Q o calor transferido para o sistema (positivo se entra calor) e W o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema faz trabalho sobre o ambiente).
Num tanque rígido não há deslocamento da fronteira (volume constante), logo o trabalho de fronteira (trabalho de expansão) é nulo. Também não há indicação de outro trabalho (e.g. eixo), então tomamos
W = 0.
Portanto, a primeira lei reduz-se a
Q = \Delta U.
Ou seja: o calor trocado é igual à variação da energia interna do gás.

Passo 3

Escolha do modelo e justificativa (idealização prática para resolver a conta).
Não foram fornecidos dados de propriedades reais do nitrogénio (tabelas ou equações de estado reais), por isso adotamos a aproximação de gás ideal — procedimento padrão em muitos exercícios quando não há dados de propriedades reais. Essa aproximação permite usar a equação dos gases ideais e a dependência da energia interna apenas com a temperatura.
Constantes e dados termofísicos do nitrogénio que vamos usar (valores típicos):
  • Constante específica do gás: \displaystyle R = 0{,}2968\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Calor específico a volume constante (valor médio aproximado): \displaystyle c_v \approx 0{,}743\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}.
Explicação curta sobre esses parâmetros:
  • \;R\; é a constante específica do gás, relacionada a R_u pela massa molar; aparece na equação de estado \;pV = m R T\;.
  • \;c_v\; é o calor específico a volume constante; para um gás ideal mono/diatómico u=u(T) e \Delta u = \int c_v(T)\,dT. Aqui usamos um valor médio constante para \;c_v\; para simplificar (procedimento comum em provas).

Passo 4

Calcular a massa de nitrogénio no tanque usando a equação dos gases ideais.
Equação dos gases ideais para massa:
pV = m R T \quad\Rightarrow\quad m = \frac{pV}{R T}.
Substituindo os dados iniciais (atenção às unidades): \;P_1=12\\ \mathrm{MPa}=12000\\ \mathrm{kPa}\;, \;V=0{,}1\\ \mathrm{m}^3\;, \;T_1=900\\ \mathrm{K}\;, e \;R=0{,}2968\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}\;. Note que \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3=\mathrm{kJ}, logo as unidades são consistentes.
Cálculo:
m=\frac{p_1 V}{R T_1}=\frac{12000\cdot 0{,}1}{0{,}2968\cdot 900} = \frac{1200}{267{,}12} \approx 4{,}493\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular a variação de energia interna por unidade de massa usando \;c_v\;.
Para gás ideal com u=u(T),
\Delta u = u_2 - u_1 = \int_{T_1}^{T_2} c_v(T)\,dT.
Com a aproximação de \;c_v\; constante, temos
\Delta u = c_v (T_2 - T_1).
Substituindo \;c_v=0{,}743\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}, \;T_1=900\\ \mathrm{K}, \;T_2=263{,}15\\ \mathrm{K}:
T_2-T_1 = 263{,}15 - 900 = -636{,}85\\ \mathrm{K},
\Delta u = 0{,}743\cdot(-636{,}85)\approx -473{,}18\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}.
O sinal negativo indica que a energia interna por kg diminuiu (esperado porque resfriou).

Passo 6

Calcular a variação total da energia interna do sistema e o calor Q.
A variação total de energia interna é
\Delta U = m\,\Delta u.
Substituindo os valores:
\Delta U = 4{,}493\\ \mathrm{kg}\times(-473{,}18\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}) \approx -2128\\ \mathrm{kJ}.
Como vimos no Passo 2, W=0 e Q=\Delta U. Portanto
Q \approx -2128\\ \mathrm{kJ}.
O sinal negativo indica que o calor foi retirado do gás (calor perdido pelo sistema).

Passo 7

Comentários finais e nota sobre precisão.
Resumo físico: o trabalho é nulo porque o volume é constante; todo o resfriamento aparece como diminuição da energia interna, logo é igual ao calor retirado.
Observação sobre precisão: o resultado usa aproximações (gás ideal e c_v médio constante). Para 12 MPa (pressão elevada) o nitrogénio pode apresentar comportamento não-ideal; se a prova pedisse maior precisão seria necessário usar tabelas/relações de propriedades reais (ou equação de estado real). Entretanto, com os dados fornecidos, esta é a metodologia e resultado padrão pedido em exercícios de termodinâmica básica.

Resposta

W=0
Q\approx -2{,}128\times10^{3}\\ \mathrm{kJ}

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