Resolva as quatro questões abaixo (use g=9,8 m / s^{2} ).
1- Um frasco volumétrico de Pirex ( \beta=9,60 \times 10^{-6}{ }^{\circ} C^{-1} )é calibrado a 20,0^{\circ} \mathrm{C}. Ele é preenchido até a marca de 100 mL com acetona \left(\beta=1,50 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}\right) a 35,0^{\circ} \mathrm{C}. Depois que o frasco é preenchido, a acetona resfria e o frasco esquenta, de forma que ambos chegam à temperatura de equilíbrio de 32,0^{\circ} \mathrm{C}. O conjunto então é resfriado de volta a 20,0^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual o volume da acetona quando ela resfria a 20,0^{\circ} \mathrm{C} ? (b) Na temperatura de 32,0^{\circ} \mathrm{C}, o nível da acetona está acima ou abaixo da marca de 100 mL do frasco? Explique.

Passo 1

O enunciado e os dados importantes (vou listar tudo certinho para não se perder):
  • O frasco de vidro (Pirex) foi calibrado a 20,0^\circ\mathrm{C}. A marca corresponde a 100\\ \text{mL} quando o frasco está a 20,0^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do vidro: \beta_{\rm vidro} = 9,60\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Acetona: \beta_{\rm ac} = 1,50\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • A acetona, a 35,0^\circ\mathrm{C}, é colocada no frasco até a marca (isto é, o nível atinge a marca quando o frasco está a 20,0^\circ\mathrm{C} e o líquido a 35,0^\circ\mathrm{C}).
  • Depois do enchimento, o conjunto (frasco + acetona) atinge equilíbrio em 32,0^\circ\mathrm{C}.
  • Em seguida o conjunto é resfriado de volta a 20,0^\circ\mathrm{C}.
    As perguntas:
    (a) Qual o volume da acetona quando ela resfria a 20,0^\circ\mathrm{C}?
    (b) Na temperatura de 32,0^\circ\mathrm{C}, o nível da acetona está acima ou abaixo da marca de 100\\ \text{mL} do frasco?

Passo 2

Fórmula que usamos (e o que cada símbolo significa):
  • A variação volumétrica linear para pequenas variações de temperatura é dada por
V(T)=V(T_0)\bigl[1+\beta\,(T-T_0)\bigr],
onde:
  • V(T_0) é o volume à temperatura de referência T_0;
  • \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica (por grau Celsius);
  • T é a nova temperatura;
  • V(T) é o volume à temperatura T.
    Essa expressão é a aproximação de primeira ordem (válida quando |\beta\Delta T| é pequeno), que é justamente o caso aqui.

Passo 3

Entendimento físico do preenchimento: quando foi feita a operação de encher até a marca, o frasco estava a 20,0^\circ\mathrm{C} (já que a marca foi calibrada a essa temperatura). Isso significa que o volume de acetona inserido naquele momento, medido à temperatura do líquido ( 35,0^\circ\mathrm{C}), ocupa exatamente o volume do frasco até a marca calculado à temperatura 20,0^\circ\mathrm{C}, ou seja:
V_{\rm ac}(35{,}0^\circ\mathrm{C}) = 100\\ \text{mL}.
É importante: o número de mL de acetona (a quantidade de líquido) fica fixo depois de fechar; o que muda com temperatura é o volume que essa mesma quantidade ocupa.

Passo 4

(a) Calcular o volume da acetona quando ela resfria a 20,0^\circ\mathrm{C}.
Aplicamos a fórmula de dilatação ao líquido, tomando T_0=35{,}0^\circ\mathrm{C} e T=20{,}0^\circ\mathrm{C}. Então \Delta T = T-T_0 = 20{,}0-35{,}0 = -15{,}0^\circ\mathrm{C}.
Usando
V_{\rm ac}(20{,}0^\circ\mathrm{C})=V_{\rm ac}(35{,}0^\circ\mathrm{C})\bigl[1+\beta_{\rm ac}(20{,}0-35{,}0)\bigr],
substituindo V_{\rm ac}(35{,}0^\circ\mathrm{C})=100\\ \text{mL} e \beta_{\rm ac}=1{,}50\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
V_{\rm ac}(20{,}0^\circ\mathrm{C})=100\bigl[1+(1{,}50\times10^{-4})(-15)\bigr].
Calcule passo a passo:
(1{,}50\times10^{-4})\times(-15) = -2{,}25\times10^{-3} = -0{,}00225,
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V_{\rm ac}(20{,}0^\circ\mathrm{C})=100\bigl(1-0{,}00225\bigr)=100\times0{,}99775=99{,}775\\ \text{mL}.

Passo 5

(b) Ver se, à 32{,}0^\circ\mathrm{C}, o nível está acima ou abaixo da marca.
Passo 5.1 — volume da acetona à 32{,}0^\circ\mathrm{C}: como a quantidade de acetona é fixa e sabemos que a mesma quantidade tinha volume 100\\ \text{mL} a 35{,}0^\circ\mathrm{C}, aplicamos a fórmula com T_0=35{,}0^\circ\mathrm{C} e T=32{,}0^\circ\mathrm{C} ( \Delta T=-3{,}0^\circ\mathrm{C}):
V_{\rm ac}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=100\bigl[1+(1{,}50\times10^{-4})(-3)\bigr].
Calcule:
(1{,}50\times10^{-4})\times(-3)=-4{,}50\times10^{-4}=-0{,}00045,
V_{\rm ac}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=100(1-0{,}00045)=100\times0{,}99955=99{,}955\\ \text{mL}.
Passo 5.2 — volume correspondente à marca do frasco quando o frasco está a 32{,}0^\circ\mathrm{C}: a marca foi calibrada a 20{,}0^\circ\mathrm{C} com volume 100\\ \text{mL}, mas o vidro se expande com a temperatura; então o volume até a mesma marca a 32{,}0^\circ\mathrm{C} é
V_{\rm marca}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=100\bigl[1+\beta_{\rm vidro}(32{,}0-20{,}0)\bigr].
Aqui \Delta T_{\rm vidro}=12{,}0^\circ\mathrm{C} e \beta_{\rm vidro}=9{,}60\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. Calculando:
(9{,}60\times10^{-6})\times12 = 1{,}152\times10^{-4}=0{,}0001152,
V_{\rm marca}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=100(1+0{,}0001152)=100\times1{,}0001152=100{,}01152\\ \text{mL}.
Passo 5.3 — comparar os valores:
V_{\rm ac}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=99{,}955\\ \text{mL}, \qquad V_{\rm marca}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=100{,}01152\\ \text{mL}.
Como 99{,}955<100{,}01152, o nível da acetona está abaixo da marca à 32{,}0^\circ\mathrm{C}. A diferença é
100{,}01152-99{,}955=0{,}05652\\ \text{mL}\\ (\text{aprox. }0{,}057\\ \text{mL}).
Interpretação física curta e amigável: a acetona encolhe mais ao esfriar (coeficiente muito maior) do que o frasco cresce ao aquecer; portanto, quando ambos estão a 32^\circ\mathrm{C} o recipiente aberto até a marca ficou um tiquinho maior do que o volume da acetona — por isso o nível fica um pouco abaixo da marca.

Resposta

(a) 99{,}775\\ \text{mL}
(b) Abaixo da marca (o volume da acetona a 32{,}0^\circ\mathrm{C} é 99{,}955\\ \text{mL}, enquanto a marca do frasco a 32{,}0^\circ\mathrm{C} corresponde a 100{,}01152\\ \text{mL}).

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