Considere como sistema um gás contido no cilindro, provido de embolo sobre o qual são colocados vários pesos pequenos. A pressão inicial é de 200 kPa e o volume inicial do gás é de 0,04 \mathrm{~m}^{3}.
Consideremos o mesmo sistema e as mesmas condições iniciais, porém durante a transferência de calor removamos os pesos de tal maneira que a expressão \mathrm{PV}^{1,3}= cte descreva a relação da pressão e volume durante o processo. Novamente o volume final é 0,1 \mathrm{~m}^{3}. Calcular o trabalho.

Passo 1

O enunciado trata de um processo politrópico num gás contido num cilindro, com expoente n=1,3. Sabemos que a pressão e o volume obedecem
P_1 = 200~\text{kPa},\quad V_1 = 0,04~\text{m}^3,\quad V_2 = 0,1~\text{m}^3,
e queremos calcular o trabalho
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,\mathrm{d}V
fazendo uso da relação politrópica P\,V^n = \text{cte}.

Passo 2

Para um processo politrópico com expoente n, a pressão varia como
P = C\,V^{-n},
onde a constante C é determinada pela condição inicial:
C = P_1\,V_1^n.

Passo 3

Calculando C:
V_1^n = \bigl(0,04\bigr)^{1,3}\approx0,01527,
P_1 = 200~\text{kPa}=200\times10^3~\text{Pa},
C = 200\times10^3 \times 0,01527 \approx 3{,}05\times10^3.

Passo 4

O trabalho é
W = \int_{V_1}^{V_2} C\,V^{-n}\,\mathrm{d}V = C \int_{V_1}^{V_2} V^{-1{,}3}\,\mathrm{d}V.
Integramos:
\int V^{-1{,}3}\,\mathrm{d}V = \frac{V^{1-1{,}3}}{1-1{,}3} = \frac{V^{-0{,}3}}{-0{,}3}.

Passo 5

Substituindo os limites:
W = C \,\frac{1}{-0{,}3}\Bigl[V^{-0{,}3}\Bigr]_{V_1}^{V_2} = \frac{C}{-0{,}3}\bigl(V_2^{-0{,}3}-V_1^{-0{,}3}\bigr).
Para ficar positivo (trabalho realizado pelo gás), escrevemos
W = \frac{C}{0{,}3}\bigl(V_1^{-0{,}3}-V_2^{-0{,}3}\bigr).

Passo 6

Calculando os termos:
V_1^{-0{,}3} = (0,04)^{-0{,}3}\approx2{,}626,\quad V_2^{-0{,}3} = (0,1)^{-0{,}3}\approx1{,}995,
V_1^{-0{,}3}-V_2^{-0{,}3}\approx2{,}626-1{,}995=0{,}631,
W = \frac{3{,}05\times10^3}{0{,}3}\times0{,}631 \approx6{,}42\times10^3~\text{J}.

Resposta

O trabalho realizado pelo gás é aproximadamente
W \approx 6{,}42~\text{kJ}.

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