Exemplo 4

Um arranjo pistão-cilindro contém inicialmente 0,5 \mathrm{~m}^{3} de gás nitrogênio a 400 \mathrm{kPa} \mathrm{e} 27^{\circ} \mathrm{C}. Um aquecedor resistivo elétrico dentro do dispositivo é ligado e passa a circular uma corrente de 2 A por cinco minutos a partir de uma fonte de 120 V . O nitrogênio se expande a pressão constante e uma perda de calor de 2800 J ocorre durante o processo. Determine a temperatura final do nitrogênio.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema pistão-cilindro fechado com nitrogênio inicialmente em V_{1}=0{,}5\\ \mathrm{m}^{3}, p=400\\ \mathrm{kPa} e T_{1}=27^{\circ}\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}. Há um aquecedor elétrico que fornece trabalho elétrico W_{\mathrm{elec}} durante 5\\ \mathrm{min}, e ocorre uma perda de calor de 2800\\ \mathrm{J}. O processo é à pressão constante.
Conteúdo: balanço de energia para sistema fechado (primeira lei da termodinâmica) e equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Calculamos a massa do nitrogênio usando a equação de estado
p\,V_{1}=m\,R\,T_{1},
onde R é a constante específica do nitrogênio. Usando R_{u}=8314\\ \mathrm{J/(kmol\cdot K)} e massa molar M=28\\ \mathrm{kg/kmol},
R=\frac{R_{u}}{M}=\frac{8314}{28}\approx297\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Logo
m=\frac{p\,V_{1}}{R\,T_{1}} =\frac{4\times10^{5}\times0{,}5}{297\times300} \approx2{,}246\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Determinamos o trabalho elétrico fornecido:
W_{\mathrm{elec}}=V\cdot I\cdot t =120\\ \mathrm{V}\times2\\ \mathrm{A}\times(5\times60)\\ \mathrm{s} =72\,000\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Aplicamos o balanço de energia para sistema fechado:
\Delta U = Q_{\mathrm{net}} + W_{\mathrm{elec}} - W_{\mathrm{pv}},
onde Q_{\mathrm{net}}=-2800\\ \mathrm{J} (perda), W_{\mathrm{pv}}=p\,\Delta V é o trabalho de expansão. Como \Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}) e p\,\Delta V=m\,R\,(T_{2}-T_{1}), obtemos
m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}) =-2800 + 72\,000 - m\,R\,(T_{2}-T_{1}).
Reorganizando,
m\,(c_{v}+R)\,(T_{2}-T_{1})=72\,000-2800=69\,200.
Como para gás diatômico c_{v}=\tfrac{5}{2}R e c_{p}=c_{v}+R=\tfrac{7}{2}R, temos
c_{p}=\tfrac{7}{2}\times297\approx1039\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 5

Resolvendo para T_{2}:
T_{2}-T_{1} =\frac{69\,200}{m\,c_{p}} =\frac{69\,200}{2{,}246\times1039} \approx29{,}7\\ \mathrm{K},
T_{2}=300 + 29{,}7\approx329{,}7\\ \mathrm{K}.

Resposta

A temperatura final do nitrogênio é aproximadamente 330\\ \mathrm{K} (ou 57^{\circ}\mathrm{C}).

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