Considere um sistema isolado composto por dois subsistemas simples de composição constante, sem reação química, separados por uma parede diatérmica, móvel e impermeável. Sabendo que no equilíbrio a entropia é máxima, analise as condições de Equilíbrio Térmico e Mecânico para que S^t atinja um máximo. Apresente os detalhes de todas as passagens consideradas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre Termodinâmica, especificamente sobre equilíbrio térmico e mecânico em um sistema isolado. A ideia principal é analisar as condições para que a entropia total $ S^{t} $ do sistema atinja seu valor máximo no equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de entropia, equilíbrio térmico e mecânico, e como eles se relacionam em sistemas termodinâmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é entropia. A entropia $ S $ é uma medida da desordem ou da quantidade de energia distribuída de forma aleatória em um sistema. No contexto de termodinâmica, quando um sistema atinge o equilíbrio, a entropia atinge seu valor máximo possível, significando que a energia está distribuída de maneira mais uniforme.

Passo 3

Agora, como temos um sistema isolado composto por dois subsistemas separados por uma parede diatérmica móvel e impermeável, isso significa que:
  • Diatérmica: Permite a troca de calor entre os subsistemas.
  • Móvel: Pode se mover, permitindo a variação de volume ou posição, o que afeta a pressão.
  • Impermeável: Não permite a passagem de matéria entre os subsistemas.

Passo 4

Como a parede é diatérmica, os dois subsistemas podem trocar calor até que atinjam a mesma temperatura. Isso é o que chamamos de equilíbrio térmico. Matematicamente, isso significa que a temperatura $ T_1 $ do primeiro subsistema será igual à temperatura $ T_2 $ do segundo subsistema no equilíbrio:
T1

Passo 5

Além disso, como a parede é móvel e o sistema é isolado (não troca massa com o ambiente), os subsistemas podem ajustar seus volumes para equilibrar a pressão. Isso nos leva ao equilíbrio mecânico. A condição para isso é que a pressão $ P_1 $ do primeiro subsistema seja igual à pressão $ P_2 $ do segundo subsistema no equilíbrio:
P1

Passo 6

Para garantir que a entropia total $ S^{t} $ atinja seu máximo, precisamos considerar que qualquer variação nas temperaturas ou pressões dos subsistemas que não respeite essas igualdades resultaria em menor entropia total. Portanto, no ponto de máximo da entropia, as condições de equilíbrio térmico e mecânico devem ser satisfeitas simultaneamente.

Passo 7

Resumindo, ao analisar o sistema isolado com as características dadas, chegamos às seguintes condições para que a entropia total atinja seu máximo:
  1. Equilíbrio Térmico: $ T_1 = T_2 $
  2. Equilíbrio Mecânico: $ P_1 = P_2 $

Resposta

No equilíbrio, para que a entropia total $ S^{t} $ atinja seu máximo, as temperaturas dos dois subsistemas devem ser iguais ($ T_1 = T_2 S^t õ P_1 = P_2 $). Essas são as condições de equilíbrio térmico e mecânico, respectivamente.

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