Partindo das propriedades à composição constante de um sistema no qual S=S(T, P) e S=S(T, V), onde V representa o Volume Molar;
Obtenha a expressão da derivada total d S; (para composição constante).
Dado: partial Hpartial T lP=CP ; partial Upartial T ll=CV ; H=U+P V ; d U=T d S-P d V ; A=U-T S ; G=U+P V-T S

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a entropia $ S $ que depende da temperatura $ T $ e da pressão $ P $, ou seja, $ S = S(T, P) $ e também de $ S = S(T, V) $, onde $ V $ é o Volume Molar. O exercício solicita que obtenhamos a expressão da derivada total $ dS $ para uma composição constante do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como as relações entre energia interna $ U $, entalpia $ H $, capacidade calorífica $ C_P $ e $ C_V $, além das fórmulas que conectam essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada total de $ S $ em relação às variáveis $ T $ e $ P $ pode ser expressa usando a regra da cadeia:
S
Mas como também temos $ S $ em função de $ T $ e $ V $, podemos reescrever a derivada total de $ S $ como:
T
Nos próximos passos, vamos relacionar essas derivadas parciais com as propriedades fornecidas no enunciado.

Passo 3

Sabemos que a capacidade calorífica a pressão constante $ C_P $ é definida como:
CP
E a capacidade calorífica a volume constante $ C_V $ é:
CP = ( partial Hpartial T )P
Também temos a relação entre entalpia $ H $ e energia interna $ U $:
CV
E a relação para a variação da energia interna:
CV = ( partial Upartial T )V
Vamos usar essas relações para expressar $ dS $ em termos de $ dT $ e $ dV $.

Passo 4

A partir da expressão de $ dU $:
dU
Podemos resolver para $ dS $:
dU = T dS - P dV
Agora, vamos substituir $ dU $ pela sua expressão envolvendo $ C_V $:
dS á
Portanto:
dS = 1T dU + PT dV

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa expressão com a derivada total de $ S $ que obtivemos no Passo 2:
S
Comparando com a expressão obtida:
dS = ( partial Spartial T )V dT + ( partial Spartial V )T dV
Podemos identificar que:
CVT dT + PT dV
e
( partial Spartial T )V = CVT

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais de $ S $ em relação a $ T $ e $ V $, podemos escrever a derivada total $ dS $ de forma completa:
S
Essa é a expressão da derivada total da entropia $ S $ para uma composição constante do sistema, onde consideramos as variações de temperatura e volume molar.

Resposta

A derivada total da entropia $ S $ para composição constante é:
S

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