Partindo das propriedades à composição constante de um sistema no qual
e
, onde
representa o Volume Molar;
Obtenha a expressão da derivada total
; (para composição constante).
Dado:
Obtenha a expressão da derivada total
Dado:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a entropia $ S $ que depende da temperatura $ T $ e da pressão $ P $, ou seja, $ S = S(T, P) $ e também de $ S = S(T, V) $, onde $ V $ é o Volume Molar. O exercício solicita que obtenhamos a expressão da derivada total $ dS $ para uma composição constante do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como as relações entre energia interna $ U $, entalpia $ H $, capacidade calorífica $ C_P $ e $ C_V $, além das fórmulas que conectam essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada total de $ S $ em relação às variáveis $ T $ e $ P $ pode ser expressa usando a regra da cadeia:
Mas como também temos $ S $ em função de $ T $ e $ V $, podemos reescrever a derivada total de $ S $ como:
Nos próximos passos, vamos relacionar essas derivadas parciais com as propriedades fornecidas no enunciado.
Passo 3
Sabemos que a capacidade calorífica a pressão constante $ C_P $ é definida como:
E a capacidade calorífica a volume constante $ C_V $ é:
Também temos a relação entre entalpia $ H $ e energia interna $ U $:
E a relação para a variação da energia interna:
Vamos usar essas relações para expressar $ dS $ em termos de $ dT $ e $ dV $.
Passo 4
A partir da expressão de $ dU $:
Podemos resolver para $ dS $:
Agora, vamos substituir $ dU $ pela sua expressão envolvendo $ C_V $:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos relacionar essa expressão com a derivada total de $ S $ que obtivemos no Passo 2:
Comparando com a expressão obtida:
Podemos identificar que:
e
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais de $ S $ em relação a $ T $ e $ V $, podemos escrever a derivada total $ dS $ de forma completa:
Essa é a expressão da derivada total da entropia $ S $ para uma composição constante do sistema, onde consideramos as variações de temperatura e volume molar.
Resposta
A derivada total da entropia $ S $ para composição constante é: