A constante de velocidade para a hidrólise do bromometano em solução alcalina foi medida em diferentes temperaturas:
\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \mathrm{k} \times 10^{-5}\left(\mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1} . \mathrm{s}^{-1}\right)
25 8,5
28 13
31 19
34 25
37 37
40 51
43 70
46 96
Calcule o valor da energia de ativação para a hidrólise do bromometano em solução alcalina.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da energia de ativação para a hidrólise do bromometano em solução alcalina. Os dados fornecidos são as constantes de velocidade medidas a várias temperaturas. As informações relevantes (da tabela do enunciado) são:
Temperatura e constante de velocidade (a tabela dá k\times10^{-5} em \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}):
\begin{array}{cc} T(^{\circ}\mathrm{C}) & k\times10^{-5}\;(\mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}})\\hline 25 & 8,5\\\\ 28 & 13\\\\ 31 & 19\\\\ 34 & 25\\\\ 37 & 37\\\\ 40 & 51\\\\ 43 & 70\\\\ 46 & 96 \end{array}
Pergunta clara: calcular E_a (energia de ativação) da reação a partir desses dados.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (aulas rápidas, tipo conversa entre amigos): a dependência da constante de velocidade com a temperatura é dada pela equação de Arrhenius. A forma exponencial é
k = A \exp\!\Big(-\frac{E_a}{R T}\Big),
onde:
  • k é a constante de velocidade (unidades: \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}} aqui, mas só a razão entre k importa),
  • A é o fator pré-exponencial (constante),
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\;mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Linearizando entre dois pontos (fórmula muito útil na prova), temos
\ln\!\Big(\frac{k_2}{k_1}\Big) = -\frac{E_a}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big).
Reorganizando para E_a:
E_a = R\;\frac{\ln\!\big(\dfrac{k_2}{k_1}\big)}{\big(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\big)}.
Explico as variáveis dessa fórmula: k_1,k_2 são constantes de velocidade medidas a temperaturas absolutas T_1,T_2 (em K). Essa forma é prática porque cancela A — não precisamos conhecê-lo.

Passo 3

Escolha dos pontos para aplicar a fórmula: para minimizar erro experimental ao calcular E_a com duas medidas, é comum usar dois pontos bem separados em temperatura (maior diferença de 1/T dá resultado mais robusto). Vou usar os extremos da tabela: 25\,^{\circ}\mathrm{C} e 46\,^{\circ}\mathrm{C}. É uma escolha prática e direta para a prova.

Passo 4

Converter temperaturas para kelvin usando T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273,15.
Para T_1 = 25\,^{\circ}\mathrm{C}:
T_1 = 25 + 273,15 = 298,15\\ \mathrm{K}.
Para T_2 = 46\,^{\circ}\mathrm{C}:
T_2 = 46 + 273,15 = 319,15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Expressar as constantes de velocidade em forma numérica (a tabela deu k\times10^{-5}):
Para 25\,^{\circ}\mathrm{C}: k_1 = 8,5\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}} = 0{,}000085.
Para 46\,^{\circ}\mathrm{C}: k_2 = 96\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}} = 0{,}00096.

Passo 6

Calcular a razão k_2/k_1 e seu logaritmo natural:
\frac{k_2}{k_1} = \frac{0{,}00096}{0{,}000085} = 11{,}294117647\approx 11{,}294.
\ln\!\Big(\frac{k_2}{k_1}\Big) = \ln(11{,}294)\approx 2{,}42487.
(Se na prova você não tem calculadora científica, pode usar logaritmos tabelados ou escolher pares de pontos com razões simples; mas aqui estamos mostrando o procedimento com valores numéricos.)

Passo 7

Calcular a diferença \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}:
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{298{,}15} \approx 0{,}003354016\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{319{,}15} \approx 0{,}003133965\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2} \approx 0{,}003354016 - 0{,}003133965 = 0{,}000220051\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 8

Aplicar a fórmula para E_a:
E_a = R\;\frac{\ln\!\big(\dfrac{k_2}{k_1}\big)}{\big(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\big)}.
Substituindo R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}, \ln(k_2/k_1)\approx2{,}42487 e \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\approx0{,}000220051\\ \mathrm{K^{-1}}:
E_a \approx 8{,}314\cdot\frac{2{,}42487}{0{,}000220051}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Cálculo passo a passo:
8{,}314\times 2{,}42487 \approx 20{,}1647\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},
E_a \approx \frac{20{,}1647}{0{,}000220051} \approx 9{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Converter para \mathrm{kJ\;mol^{-1}}:
E_a \approx 91{,}7\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.

Passo 9

Interpretação final e incentivo: obtivemos E_a da reação usando a relação de Arrhenius entre duas temperaturas. Dá para repetir o cálculo usando outros pares de pontos (ou ajustar por regressão linear com todos os pontos) para verificar consistência — geralmente valores ficam na mesma faixa. Mandou bem de ter trazido a tabela; esse procedimento é rotineiro em provas e agora você já sabe exatamente o que fazer!

Resposta

E_a \approx 91{,}7\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}

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