Quando o ciclopropano é aquecido a 750 K em um recipiente fechado, ele se isomeriza formando o propeno. A reação foi monitorada usando espectroscopia no infravermelho e os seguintes dados foram obtidos:
\mathrm{t}(\mathrm{s}) [cicloproano] \times 10^{-3}(\mathrm{~mol} / \mathrm{L})
0 1,50
5 1,23
10 1,01
20 0,68
30 0,46
40 0,31
50 0,21
60 0,14
Qual o valor da constante de velocidade e o tempo de meia-vida para essa reação?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor da constante de velocidade e o tempo de meia-vida para a reação de isomerização do ciclopropano em propeno, a 750 K, a partir dos dados experimentais.
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{cc} t\\ (\mathrm{s}) & [\text{ciclopropano}]\times10^{-3}\\ (\mathrm{mol\,L^{-1}})\\hline 0 & 1,50\\\\ 5 & 1,23\\\\ 10 & 1,01\\\\ 20 & 0,68\\\\ 30 & 0,46\\\\ 40 & 0,31\\\\ 50 & 0,21\\\\ 60 & 0,14 \end{array}
Observação: os números na coluna de concentração são os valores dados (por exemplo 1,50 significa 1,50\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}).
(O que se pede e os dados estão claros — a partir daqui começamos a resolver.)

Passo 2

Escolha do método e equação a usar (explicação didática, passo a passo).
  • Quando uma reação segue uma cinética onde a velocidade é proporcional à concentração do reagente, escrevemos a lei diferencial:
-\frac{d[A]}{dt}=k[A],
onde [A] é a concentração do reagente (aqui o ciclopropano) e k é a constante de velocidade.
  • Para resolver essa equação diferencial, separa-se e integra-se:
\frac{d[A]}{[A]}=-k\,dt.
Integrando desde t=0 (com concentração inicial [A]_0) até tempo t (com concentração [A]_t), obtemos
\ln([A]_t)-\ln([A]_0)=-kt,
ou de forma mais usada
\ln([A]_t)=\ln([A]_0)-kt.
  • Nessa equação: [A]_0 é a concentração inicial, [A]_t é a concentração no tempo t, k tem unidades de \mathrm{s}^{-1} para ordem 1, e \ln é o logaritmo natural.
  • Rearranjando para encontrar k a partir de dados experimentais:
k=\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right).
  • Observação prática: o fator \times10^{-3} nas concentrações cancela quando fazemos a razão [A]_0/[A]_t, então podemos usar diretamente os números da tabela (1,50; 0,14; etc.) para calcular razões e logaritmos.

Passo 3

Cálculo da constante k usando os dados (faço mais de um cálculo para checar consistência).
  • Usando o primeiro e o último ponto ( t=0 e t=60\\ \mathrm{s}):
k=\frac{1}{60}\ln\!\left(\frac{1,50}{0,14}\right).
  • Calcule a razão:
\frac{1,50}{0,14}=10,7142857\ldots
  • Calcule o logaritmo natural (aproximação):
\ln(10,7142857)\approx2,3716.
  • Portanto
k\approx\frac{2,3716}{60}=0,039526\\ \mathrm{s}^{-1}\approx3,95\times10^{-2}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Verificação de consistência com um ponto intermediário (por segurança, para ver se os dados realmente seguem uma queda exponencial):
  • Usando t=30\\ \mathrm{s} com [A]_{30}=0,46:
k=\frac{1}{30}\ln\!\left(\frac{1,50}{0,46}\right)=\frac{1}{30}\ln(3,2608696)\approx\frac{1,1822}{30}=0,0394\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Resultado muito próximo de 0,0395\\ \mathrm{s}^{-1}, o que confirma que a cinética é bem descrita por primeira ordem e que nosso cálculo é consistente.

Passo 4

Cálculo do tempo de meia-vida t_{1/2} (explicação e aplicação).
  • Para reações de primeira ordem a meia-vida é independente da concentração inicial e é dada por:
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k},
onde \ln 2\approx0,6931.
  • Usando k=0,039526\\ \mathrm{s}^{-1}:
t_{1/2}=\frac{0,6931}{0,039526}\approx17,54\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando de forma coerente com os dados: t_{1/2}\approx17,5\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Resumo rápido do procedimento aprendido (para você aplicar na prova)
  • Identificar se a forma dos dados sugere ordem 1 (decrescimento exponencial); um teste rápido: calcular k com vários pares (t,[A]_t) usando k=\frac{1}{t}\ln([A]_0/[A]_t) — se os valores de k forem parecidos, é ordem 1.
  • Para ordem 1, usar \ln([A]_t)=\ln([A]_0)-kt ou a forma rearranjada para calcular k.
  • Para calcular t_{1/2} em ordem 1, usar t_{1/2}=\ln2/k.
  • Dica prática: em prova calcule k de um intervalo grande (para reduzir erro experimental) e verifique com um ponto intermediário.

Resposta

k=3,95\times10^{-2}\\ \mathrm{s}^{-1}
t_{1/2}=17,5\\ \mathrm{s}

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