Um corpo de prova cilíndrico feito em aço e com diâmetro original de 12,8 \mathrm{~mm} é testado sob tração até sua fratura, tendo sido determinado que ele possuì uma resistência à fratura, expressa em tensão de engenharia de 480 MPa . Se o diâmetro de sua seção transversal no momento da fratura é de 11 mm , determine:
a) A ductilidade em termos da redução percentual da área.
b) A tensão verdadeira:

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei esses valores do enunciado):
  • diâmetro original \,d_0=12{,}8\\ \mathrm{mm},
  • diâmetro na fratura \,d_f=11\\ \mathrm{mm},
  • tensão de engenharia à fratura \,\sigma_{\text{eng}}=480\\ \mathrm{MPa}.
O que pede:
(a) a ductilidade em termos da redução percentual da área (ou seja, \% de redução de área da seção transversal);
(b) a tensão verdadeira na fratura.

Passo 2

Conceito e fórmula da redução percentual da área: a área de uma seção circular é \,A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. A redução percentual da área é a fração
\text{Redução (\%)} = \left(1-\dfrac{A_f}{A_0}\right)\times 100\%.çã
Como \,A_f/A_0=(d_f/d_0)^2, podemos escrever
\text{Redução (\%)} = \left(1-\left(\dfrac{d_f}{d_0}\right)^2\right)\times 100\%.çã
(Isto evita calcular \pi e as áreas absolutas.)

Passo 3

Calcular \left(\dfrac{d_f}{d_0}\right)^2 com os valores dados:
\left(\dfrac{d_f}{d_0}\right)^2 = \left(\dfrac{11}{12{,}8}\right)^2 = \dfrac{121}{163{,}84} = \dfrac{3025}{4096} \approx 0{,}738525390625.

Passo 4

Agora a redução percentual da área:
\text{Redução (\%)} = \bigl(1-0{,}738525390625\bigr)\times 100\% = 0{,}261474609375\times 100\% = 26{,}1474609375\%.çã
Arredondando de forma sensata, \text{Redução (\%)}\approx 26{,}15\%çã.

Passo 5

Conceito de tensão verdadeira e relação com tensão de engenharia: a tensão de engenharia na fratura é \sigma_{\text{eng}}=F/A_0, onde F é a força de ruptura e A_0 a área inicial. A tensão verdadeira no instante da fratura é \sigma_{\text{true}}=F/A_f. Eliminando F:
\sigma_{\text{true}}=\sigma_{\text{eng}}\cdot\dfrac{A_0}{A_f} =\sigma_{\text{eng}}\cdot\dfrac{d_0^2}{d_f^2}.
Essa fórmula faz sentido: à medida que a seção reduz, a tensão real no material é maior que a tensão de engenharia.

Passo 6

Aplicando numericamente:
\sigma_{\text{true}} = 480\\ \mathrm{MPa}\times\left(\dfrac{12{,}8}{11}\right)^2 =480\\ \mathrm{MPa}\times\dfrac{4096}{3025} \approx 480\\ \mathrm{MPa}\times 1{,}35494380165 \approx 649{,}94380165\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma prática, \sigma_{\text{true}}\approx 649{,}94\\ \mathrm{MPa} (ou, com 3 algarismos significativos, \approx 650\\ \mathrm{MPa}).

Resposta

a) 26{,}15\%
b) \sigma_{\text{true}}\approx 649{,}94\\ \mathrm{MPa}

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