Um corpo sólido na temperatura inicial
é imerso em um banho de água na temperatura inicial
. Calor é transferido do sólido para a água na taxa
, onde
é uma constante e
e
são valores instantâneos da temperatura da água e do sólido. Desenvolva uma expressão para
como uma função do tempo
. Verifique o seu resultado nos casos-limite
e
. Despreze efeitos de expansão ou contração, e considere calores específicos constantes para a água e para o sólido.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um sólido com temperatura inicial
. - Uma água (banho) com temperatura inicial
. - Transferência de calor entre sólido e água com taxa
(a constante dada). - Calores específicos constantes para água e sólido; desprezar efeitos de expansão/contração.
- Quer-se obter
(temperatura do sólido) em função do tempo .
Observação sobre sinal: para montar as equações de balanço de energia é necessário um sinal consistente para
. Vou adotar a convenção física usual:
é a taxa de calor transferida do sólido para a água quando o sólido está mais quente. Assim reescrevo (equivalentemente ao enunciado, mudando apenas a ordem no parêntese) como
(Isto significa: se
então
e calor sai do sólido e vai para a água.)
Defino as capacidades térmicas (quantidade de calor necessária para mudar a temperatura em 1 unidade):
onde
é massa e
calor específico. Estas
têm unidades de energia/temperatura e facilitam os balanços.
As incógnitas instantâneas são
e
, com condições iniciais
e
.
Passo 2
Escrever os balanços de energia (primeira lei, sem trabalho, só troca de calor entre os dois corpos).
Para o sólido: a variação de energia interna por unidade de tempo é a energia perdida para a água:
Para a água: ganha o calor perdido pelo sólido:
Estas duas equações formam um sistema linear de ordem 1.
Passo 3
Verificar conservação de energia e definir temperatura de equilíbrio.
Somando as duas equações:
logo
ou seja
constante
.
Defino a temperatura de equilíbrio (quando
, ambas as temperaturas igualam-se):
Isto é simplesmente a média ponderada pelas capacidades térmicas.
Passo 4
Reduzir o sistema a uma equação para a diferença de temperaturas.
Defina a diferença
Subtraindo a equação da água da do sólido (ou somando apropriadamente) obtemos:
Fatorando,
Esta é uma equação diferencial ordinária de 1º ordem, homogênea, com coeficiente constante.
Passo 5
Resolver a equação para
.
A equação
tem solução exponencial:
Como
, fica
Passo 6
Expressar
em termos de
e da temperatura de equilíbrio.
Usando a relação de conservação
e a definição
, podemos escrever
como soma da temperatura de equilíbrio mais um desvio. Uma forma simples e elegante é observar que o desvio do sólido em relação à temperatura de equilíbrio é proporcional a
:
(Verificação rápida: a partir de
obtém-se
e então
.)
Substituindo
:
Uma forma equivalente, usando
, é
Passo 7
Verificação dos casos-limite requisitados.
- Para
:
como deve ser.
- Para
:
ou seja atinge a temperatura final de equilíbrio
, como esperado.
Pequena encorajamento: essa solução mostra um decaimento exponencial do desvio em torno da temperatura de equilíbrio, com constante de tempo igual a
. Dá para interpretar fisicamente: quanto maior
, mais rápida a equalização; quanto maiores as capacidades
, mais lenta a resposta.