Um corpo sólido na temperatura inicial T_{0} é imerso em um banho de água na temperatura inicial T_{a 0}. Calor é transferido do sólido para a água na taxa \dot{Q}=K \cdot\left(T_{a}-T\right), onde K é uma constante e T_{a} e T são valores instantâneos da temperatura da água e do sólido. Desenvolva uma expressão para T como uma função do tempo \tau. Verifique o seu resultado nos casos-limite \tau=0 e \tau=\infty. Despreze efeitos de expansão ou contração, e considere calores específicos constantes para a água e para o sólido.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um sólido com temperatura inicial T_{0}.
  • Uma água (banho) com temperatura inicial T_{a0}.
  • Transferência de calor entre sólido e água com taxa \dot{Q}=K\cdot\bigl(T_{a}-T\bigr) (a constante K>0 dada).
  • Calores específicos constantes para água e sólido; desprezar efeitos de expansão/contração.
  • Quer-se obter T (temperatura do sólido) em função do tempo \tau.
Observação sobre sinal: para montar as equações de balanço de energia é necessário um sinal consistente para \dot Q. Vou adotar a convenção física usual: \dot Q é a taxa de calor transferida do sólido para a água quando o sólido está mais quente. Assim reescrevo (equivalentemente ao enunciado, mudando apenas a ordem no parêntese) como
\dot{Q}=K\cdot\bigl(T-T_{a}\bigr).
(Isto significa: se T>T_{a} então \dot Q>0 e calor sai do sólido e vai para a água.)
Defino as capacidades térmicas (quantidade de calor necessária para mudar a temperatura em 1 unidade):
C_{s}=m_{s} c_{s}\quad\text{(sólido)},\qquad C_{a}=m_{a} c_{a}\quad\text{(água)},óá
onde m é massa e c calor específico. Estas C têm unidades de energia/temperatura e facilitam os balanços.
As incógnitas instantâneas são T(\tau) e T_{a}(\tau), com condições iniciais T(0)=T_{0} e T_{a}(0)=T_{a0}.

Passo 2

Escrever os balanços de energia (primeira lei, sem trabalho, só troca de calor entre os dois corpos).
Para o sólido: a variação de energia interna por unidade de tempo é a energia perdida para a água:
C_{s}\,\frac{dT}{d\tau}=-\dot{Q}=-K\bigl(T-T_{a}\bigr).
Para a água: ganha o calor perdido pelo sólido:
C_{a}\,\frac{dT_{a}}{d\tau}=+\dot{Q}=K\bigl(T-T_{a}\bigr).
Estas duas equações formam um sistema linear de ordem 1.

Passo 3

Verificar conservação de energia e definir temperatura de equilíbrio.
Somando as duas equações:
C_{s}\frac{dT}{d\tau}+C_{a}\frac{dT_{a}}{d\tau}=0,
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\frac{d}{d\tau}\bigl(C_{s}T+C_{a}T_{a}\bigr)=0,
ou seja C_{s}T+C_{a}T_{a}= constante =C_{s}T_{0}+C_{a}T_{a0}.
Defino a temperatura de equilíbrio (quando \tau\to\infty, ambas as temperaturas igualam-se):
T_{\infty}=T_{\mathrm{eq}}=\frac{C_{s}T_{0}+C_{a}T_{a0}}{C_{s}+C_{a}}.
Isto é simplesmente a média ponderada pelas capacidades térmicas.

Passo 4

Reduzir o sistema a uma equação para a diferença de temperaturas.
Defina a diferença
\Delta(\tau)=T(\tau)-T_{a}(\tau).
Subtraindo a equação da água da do sólido (ou somando apropriadamente) obtemos:
\frac{d\Delta}{d\tau}=\frac{dT}{d\tau}-\frac{dT_{a}}{d\tau} = -\frac{K}{C_{s}}\bigl(T-T_{a}\bigr) - \frac{K}{C_{a}}\bigl(T-T_{a}\bigr).
Fatorando,
\frac{d\Delta}{d\tau} = -K\Bigl(\frac{1}{C_{s}}+\frac{1}{C_{a}}\Bigr)\Delta.
Esta é uma equação diferencial ordinária de 1º ordem, homogênea, com coeficiente constante.

Passo 5

Resolver a equação para \Delta(\tau).
A equação
\frac{d\Delta}{d\tau} = -\lambda\,\Delta,\qquad\text{onde}\quad \lambda \equiv K\Bigl(\frac{1}{C_{s}}+\frac{1}{C_{a}}\Bigr),
tem solução exponencial:
\Delta(\tau)=\Delta(0)\,e^{-\lambda \tau}.
Como \Delta(0)=T_{0}-T_{a0}, fica
\Delta(\tau)=\bigl(T_{0}-T_{a0}\bigr)\exp\Bigl(-K\Bigl(\frac{1}{C_{s}}+\frac{1}{C_{a}}\Bigr)\tau\Bigr).

Passo 6

Expressar T(\tau) em termos de \Delta(\tau) e da temperatura de equilíbrio.
Usando a relação de conservação C_{s}T+C_{a}T_{a}= (C_{s}+C_{a})T_{\mathrm{eq}} e a definição \Delta=T-T_{a}, podemos escrever T como soma da temperatura de equilíbrio mais um desvio. Uma forma simples e elegante é observar que o desvio do sólido em relação à temperatura de equilíbrio é proporcional a \Delta:
T(\tau)-T_{\mathrm{eq}}=\frac{C_{a}}{C_{s}+C_{a}}\;\Delta(\tau).
(Verificação rápida: a partir de C_{s}(T-T_{\mathrm{eq}})+C_{a}(T_{a}-T_{\mathrm{eq}})=0 obtém-se T-T_{\mathrm{eq}}=-\frac{C_{a}}{C_{s}}(T_{a}-T_{\mathrm{eq}}) e então T-T_{\mathrm{eq}}=\frac{C_{a}}{C_{s}+C_{a}}\Delta.)
Substituindo \Delta(\tau):
T(\tau)=T_{\mathrm{eq}}+\frac{C_{a}}{C_{s}+C_{a}}\bigl(T_{0}-T_{a0}\bigr) \exp\Bigl(-K\Bigl(\frac{1}{C_{s}}+\frac{1}{C_{a}}\Bigr)\tau\Bigr).
Uma forma equivalente, usando T_{0}-T_{\mathrm{eq}}=\dfrac{C_{a}}{C_{s}+C_{a}}(T_{0}-T_{a0}), é
T(\tau)=T_{\mathrm{eq}}+\bigl(T_{0}-T_{\mathrm{eq}}\bigr) \exp\Bigl(-K\Bigl(\frac{1}{C_{s}}+\frac{1}{C_{a}}\Bigr)\tau\Bigr).

Passo 7

Verificação dos casos-limite requisitados.
  • Para \tau=0:
T(0)=T_{\mathrm{eq}}+\bigl(T_{0}-T_{\mathrm{eq}}\bigr)\cdot 1 = T_{0},
como deve ser.
  • Para \tau\to\infty:
\lim_{\tau\to\infty}T(\tau)=T_{\mathrm{eq}}+\bigl(T_{0}-T_{\mathrm{eq}}\bigr)\cdot 0 = T_{\mathrm{eq}},
ou seja atinge a temperatura final de equilíbrio T_{\mathrm{eq}}=\dfrac{C_{s}T_{0}+C_{a}T_{a0}}{C_{s}+C_{a}}, como esperado.
Pequena encorajamento: essa solução mostra um decaimento exponencial do desvio em torno da temperatura de equilíbrio, com constante de tempo igual a \tau_c=\dfrac{1}{K\bigl(\frac{1}{C_{s}}+\frac{1}{C_{a}}\bigr)}. Dá para interpretar fisicamente: quanto maior K, mais rápida a equalização; quanto maiores as capacidades C, mais lenta a resposta.

Resposta

T(\tau)=\frac{C_{s}T_{0}+C_{a}T_{a0}}{C_{s}+C_{a}} +\biggl(T_{0}-\frac{C_{s}T_{0}+C_{a}T_{a0}}{C_{s}+C_{a}}\biggr) \exp\!\Biggl(-K\Bigl(\frac{1}{C_{s}}+\frac{1}{C_{a}}\Bigr)\tau\Biggr).

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