Uma peça de aço com 2 kg encontra-se a uma temperatura inicial de 500^{\circ} \mathrm{C} ; 40 \mathrm{~kg} de água, inicialmente a 25^{\circ} \mathrm{C}, estão no interior de um tanque de aço pesando 5 kg , perfeitamente isolado. A peça de aço é imersa na água e permite-se que o sistema atinja o equilibrio. Qual é a sua temperatura final? Ignore qualquer
efeito de expansão ou contração e admita calores específicos constantes de 4,18 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} para a água e 0,50 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} para o aço.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final de equilíbrio térmico quando uma peça de aço quente é mergulhada em água dentro de um tanque de aço, tudo perfeitamente isolado. As informações fornecidas são (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Massa da peça de aço: m_{\text{peça}}=2\\ \mathrm{kg}ç.
  • Temperatura inicial da peça: T_{\text{peça,i}}=500^\circ\mathrm{C}ç.
  • Massa da água: m_{\text{água}}=40\\ \mathrm{kg}á.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{água,i}}=25^\circ\mathrm{C}á.
  • Massa do tanque (aço): m_{\text{tanque}}=5\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do tanque: T_{\text{tanque,i}}=25^\circ\mathrm{C} (assume-se igual à água).
  • Calor específico da água: c_{\text{água}}=4,18\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}}á.
  • Calor específico do aço: c_{\text{aço}}=0,50\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}}ç.
    O sistema é isolado, logo a energia térmica perdida pela peça quente será totalmente ganha pela água e pelo tanque até atingirem a temperatura comum final T_f. A tarefa: determinar T_f.

Passo 2

Relembrando a fórmula física que vamos usar (aula rápida e prática): a quantidade de calor trocada por um corpo quando sua temperatura varia é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é o calor trocado (positivo se o corpo ganha calor, negativo se perde),
  • m é a massa do corpo (em \mathrm{kg}),
  • c é o calor específico do material (em \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}}),
  • \Delta T é a variação de temperatura \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} (em K ou, para diferenças, em ^\circ\mathrm{C} — a mesma escala serve).
    No nosso problema, como o sistema é isolado, vale a conservação de energia:
\text{calor perdido pela peça} + \text{calor ganho pela água} + \text{calor ganho pelo tanque} = 0.çá
Vou escolher a convenção: calor perdido é positivo ao escrever as magnitudes (mais simples para montar a equação). Assim:
m_{\text{peça}} c_{\text{aço}}(T_{\text{peça,i}}-T_f) = m_{\text{água}} c_{\text{água}}(T_f-T_{\text{água,i}}) + m_{\text{tanque}} c_{\text{aço}}(T_f-T_{\text{tanque,i}}).çççáááç

Passo 3

Calculo as capacidades térmicas (produto m c) de cada corpo — isso torna a equação simples e evita perder tempo com unidades depois:
  • Para a peça de aço:
m_{\text{peça}} c_{\text{aço}} = 2\cdot 0,50 = 1,0\\ \mathrm{kJ\;K^{-1}}.çç
  • Para a água:
m_{\text{água}} c_{\text{água}} = 40\cdot 4,18 = 167,2\\ \mathrm{kJ\;K^{-1}}.áá
  • Para o tanque (aço):
m_{\text{tanque}} c_{\text{aço}} = 5\cdot 0,50 = 2,5\\ \mathrm{kJ\;K^{-1}}.ç
Agora insiro esses valores na equação de conservação de energia:
1{,}0\,(500 - T_f) = 167{,}2\,(T_f - 25) + 2{,}5\,(T_f - 25).

Passo 4

Somando as capacidades térmicas dos corpos que ganham calor (água + tanque):
167{,}2 + 2{,}5 = 169{,}7\\ \mathrm{kJ\;K^{-1}}.
A equação fica então
1{,}0\,(500 - T_f) = 169{,}7\,(T_f - 25).
Desenvolvendo ambos os lados:
500 - T_f = 169{,}7\,T_f - 169{,}7\cdot 25.
Calculo 169{,}7\cdot 25:
169{,}7\cdot 25 = 4\,242{,}5.
Assim:
500 - T_f = 169{,}7\,T_f - 4\,242{,}5.

Passo 5

Agora isolo T_f. Somando T_f em ambos os lados e somando 4\,242{,}5 ao lado esquerdo:
500 + 4\,242{,}5 = 169{,}7\,T_f + T_f.
4\,742{,}5 = 170{,}7\,T_f.
Logo
T_f = \frac{4\,742{,}5}{170{,}7}.
Faço a divisão:
T_f \approx 27{,}78^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Verificação rápida de plausibilidade: a peça muito mais quente (500^\circ\mathrm{C}) tem massa pequena (2 kg) e calor específico do aço baixo; a água e o tanque juntos têm muito maior capacidade térmica (169,7 kJ/K). Então a temperatura final deve ficar bem próxima da temperatura inicial da água (25^\circ\mathrm{C}) e isso é o que aconteceu: ~27,8^\circ\mathrm{C}. Tudo consistente. Força aí — na prova faça esses passos: calcular m c de cada, montar a equação de conservação e resolver linearmente.

Resposta

T_f \approx 27{,}78^\circ\mathrm{C}

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