Água a 28^{\circ} \mathrm{C} escoa em um tubo reto horizontal, no qual não há transferência de calor ou de trabalho com a vizinhança. Sua velocidade é de 14 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} em uma seção do tubo com diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~cm}. A água passa dessa seção para uma outra seção, onde ocorre um aumento brusco do diâmetro. Qual é a variação da temperatura da água, se o diâmetro da segunda seçāo for de 3,8 \mathrm{~cm} ? E se ele for de 7,5 \mathrm{~cm} ? Qual é a máxima variação de temperatura para um aumento do diâmetro do tubo?

Passo 1

O enunciado pede a variação de temperatura da água quando ela passa de uma seção do tubo para outra com aumento brusco do diâmetro, nas duas situações dadas, e também a variação máxima possível para um aumento do diâmetro. As informações fornecidas são:
  • Temperatura inicial: T_1 = 28^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade na seção 1: V_1 = 14\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Diâmetro da seção 1: D_1 = 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Dois casos para a seção 2:
    • Caso A: D_2 = 3{,}8\\ \mathrm{cm} = 0{,}038\\ \mathrm{m}.
    • Caso B: D_2 = 7{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • Condições do problema: tubo reto horizontal, sem transferência de calor com a vizinhança (adiabático) e sem trabalho externo. Quer-se a variação de temperatura \Delta T = T_2 - T_1 em cada caso, e a variação máxima possível quando o diâmetro aumenta.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar. Para escoamento estacionário, adiabático, sem trocas de trabalho além do fluxo, e desprezando variação de energia potencial (tubo horizontal), a equação de energia por unidade de massa reduz-se a:
h + \frac{V^2}{2} = \text{constante},
onde h é a entalpia específica e V a velocidade do fluido. Logo,
h_2 - h_1 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{2}.
Para água líquida, a entalpia específica pode ser aproximada por h \approx c_p T, onde c_p é o calor específico a pressão constante. Assim:
\Delta T \equiv T_2 - T_1 = \frac{h_2-h_1}{c_p} = \frac{V_1^2 - V_2^2}{2 c_p}.
Explicando as variáveis:
  • V_1 e V_2 são velocidades nas seções 1 e 2 (m/s).
  • c_p é o calor específico da água (J kg ^{-1} K ^{-1}).
  • \Delta T fica em kelvin; para variações, 1\\ \mathrm{K} = 1^\circ\mathrm{C}.
Também precisamos de V_2 a partir da conservação de massa (escoamento incompressível):
A_1 V_1 = A_2 V_2,\qquad A=\frac{\pi D^2}{4},
logo
V_2 = V_1\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2.
Valor numérico adotado para c_p: vou usar c_p = 4180\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}} (valor típico da água à temperatura ambiente). Observação: a escolha de c_p afeta muito pouco o resultado final, que será muito pequeno.

Passo 3

Cálculo do caso A: D_2 = 0{,}038\\ \mathrm{m}.
Calcular V_2:
\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = \left(\frac{0{,}025}{0{,}038}\right)^2 \approx 0{,}432900,
V_2 = 14\cdot 0{,}432900 \approx 6{,}0606\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
Calcular \Delta T:
V_1^2 - V_2^2 = 14^2 - 6{,}0606^2 \approx 196 - 36{,}734 \approx 159{,}266\\ \mathrm{(m^2\\ s^{-2})}.
\Delta T = \frac{159{,}266}{2\cdot 4180} = \frac{159{,}266}{8360} \approx 0{,}01905\\ \mathrm{K}.
Portanto a variação de temperatura para D_2=3{,}8\\ \mathrm{cm} é aproximadamente 0{,}019\\ \mathrm{K} (ou 0{,}019^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Cálculo do caso B: D_2 = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
Calcular V_2:
\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = \left(\frac{0{,}025}{0{,}075}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 0{,}111111,
V_2 = 14\cdot 0{,}111111 \approx 1{,}55556\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
Calcular \Delta T:
V_1^2 - V_2^2 = 196 - 1{,}55556^2 \approx 196 - 2{,}41975 \approx 193{,}58025.
\Delta T = \frac{193{,}58025}{8360} \approx 0{,}02314\\ \mathrm{K}.
Portanto a variação de temperatura para D_2=7{,}5\\ \mathrm{cm} é aproximadamente 0{,}0231\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Variação máxima de temperatura: isso ocorre no limite em que a velocidade na segunda seção tende a zero (diâmetro muito grande), pois então toda a energia cinética inicial é convertida em entalpia. Assim:
\Delta T_{\max} = \frac{V_1^2 - 0}{2 c_p} = \frac{V_1^2}{2 c_p} = \frac{196}{2\cdot 4180} = \frac{196}{8360} \approx 0{,}02344\\ \mathrm{K}.
Observação: o caso B já está muito próximo deste máximo.

Passo 6

Interpretação final e comentário prático: as variações de temperatura são extremamente pequenas (da ordem de centésimos de grau Celsius), portanto na prática desprezíveis. Isso ocorre porque a energia cinética por unidade de massa associada a velocidades típicas de tubos é pequena comparada à capacidade térmica da água.

Resposta

\Delta T \approx 0{,}01905\\ \mathrm{K} para D_2=3{,}8\\ \mathrm{cm}
\Delta T \approx 0{,}02314\\ \mathrm{K} para D_2=7{,}5\\ \mathrm{cm}
\Delta T_{\max} \approx 0{,}02344\\ \mathrm{K}

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