Gás está vazando de um tanque. Desprezando a transferência de calor entre o gás e o tanque, mostre que os balanços de massa e energia produzem a equação diferencial:
\frac{d U}{H^{\prime}-U}=\frac{d m}{m}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando um gás vaza de um tanque e se despreza a transferência de calor entre o gás e o tanque, os balanços de massa e energia levam à equação diferencial
\frac{d U}{H^{\prime}-U}=\frac{d m}{m}.
Informações e hipóteses relevantes (pegas do enunciado ou necessárias para a dedução):
  • Há um tanque contendo gás cuja massa no instante considerado é m.
  • U é a energia interna específica do gás (isto é, energia interna por unidade de massa). Observação: uso U em maiúscula porque o enunciado usou assim; a ideia é que U tem dimensão de energia por massa.
  • H^{\prime} é a entalpia específica do fluxo que sai pelo orifício (entalpia por unidade de massa do gás que vaza). Lembrete: a entalpia específica é definida por H^{\prime}=U+p\,v, onde p é a pressão do gás no tanque e v é o volume específico (volume por unidade de massa).
  • Despreza-se a transferência de calor entre o gás e o tanque (processo adiabático em relação ao tanque).
  • Não há entrada de massa, apenas saída; o pequeno incremento de massa do tanque é d m (note que d m<0 quando o gás sai).
  • Deseja-se relacionar as variações diferenciais dU e d m.

Passo 2

Definições e escrita da energia total do gás no tanque:
  • A energia interna total do gás contido no tanque é E = m\,U (produto da massa pelo valor específico U).
  • Vamos aplicar o balanço de energia à massa de gás que permanece no tanque, considerando a energia que sai quando uma pequena massa sai pelo orifício.

Passo 3

Interpretação física do termo energético levado pela massa que sai:
  • Quando uma pequena quantidade de massa -d m (positivo em valor absoluto) sai do tanque, essa massa carrega energia com ela. A energia transportada por unidade de massa que sai é a entalpia específica H^{\prime}.
  • Portanto, a energia total retirada do tanque por essa pequena massa que sai é H^{\prime}\,(-d m).
  • Pelo princípio da conservação de energia, a variação da energia interna total do gás dentro do tanque dE é igual à energia retirada (com sinal): a energia do tanque diminui da quantidade H^{\prime}(-d m). Assim, escrevendo o balanço com os sinais consistentes:
dE = -\bigl(H^{\prime}(-d m)\bigr) = H^{\prime}\,d m.
Explicação do sinal: se d m<0 (massa sai), então H^{\prime} d m é negativo, representando diminuição da energia total do tanque, como esperado.
Observação sobre hipóteses escondidas: aqui estamos supondo que não há troca de calor ( Q=0), que não há trabalho de outra natureza (além do trabalho de fluxo que está incluído em H^{\prime}), e que energia cinética e potencial associados ao escoamento são desprezíveis ou já incluídas em H^{\prime}. Essas são hipóteses usuais nesse tipo de balanço.

Passo 4

Escrevendo explicitamente o balanço em termos de U e m:
  • Como E=m\,U, temos
dE = d(m\,U) = m\,dU + U\,d m.
  • Pelo balanço do Passo 3, dE = H^{\prime}\,d m. Igualando:
m\,dU + U\,d m = H^{\prime}\,d m.

Passo 5

Isolando dU e obtendo a equação desejada:
  • Subtrai-se U\,d m dos dois lados:
m\,dU = \bigl(H^{\prime}-U\bigr)\,d m.
  • Agora divide-se ambos os lados por m\bigl(H^{\prime}-U\bigr) (assumindo H^{\prime}\neq U enquanto se aplica a manipulação):
\frac{dU}{H^{\prime}-U}=\frac{d m}{m}.
Essa é exatamente a relação pedida.

Resposta

\frac{d U}{H^{\prime}-U}=\frac{d m}{m}

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