Gás está vazando de um tanque. Desprezando a transferência de calor entre o gás e o tanque, mostre que os balanços de massa e energia produzem a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando um gás vaza de um tanque e se despreza a transferência de calor entre o gás e o tanque, os balanços de massa e energia levam à equação diferencial
Informações e hipóteses relevantes (pegas do enunciado ou necessárias para a dedução):
- Há um tanque contendo gás cuja massa no instante considerado é
. -
é a energia interna específica do gás (isto é, energia interna por unidade de massa). Observação: uso em maiúscula porque o enunciado usou assim; a ideia é que tem dimensão de energia por massa. -
é a entalpia específica do fluxo que sai pelo orifício (entalpia por unidade de massa do gás que vaza). Lembrete: a entalpia específica é definida por , onde é a pressão do gás no tanque e é o volume específico (volume por unidade de massa). - Despreza-se a transferência de calor entre o gás e o tanque (processo adiabático em relação ao tanque).
- Não há entrada de massa, apenas saída; o pequeno incremento de massa do tanque é
(note que quando o gás sai). - Deseja-se relacionar as variações diferenciais
e .
Passo 2
Definições e escrita da energia total do gás no tanque:
- A energia interna total do gás contido no tanque é
(produto da massa pelo valor específico ). - Vamos aplicar o balanço de energia à massa de gás que permanece no tanque, considerando a energia que sai quando uma pequena massa sai pelo orifício.
Passo 3
Interpretação física do termo energético levado pela massa que sai:
- Quando uma pequena quantidade de massa
(positivo em valor absoluto) sai do tanque, essa massa carrega energia com ela. A energia transportada por unidade de massa que sai é a entalpia específica . - Portanto, a energia total retirada do tanque por essa pequena massa que sai é
. - Pelo princípio da conservação de energia, a variação da energia interna total do gás dentro do tanque
é igual à energia retirada (com sinal): a energia do tanque diminui da quantidade . Assim, escrevendo o balanço com os sinais consistentes:
Explicação do sinal: se
(massa sai), então
é negativo, representando diminuição da energia total do tanque, como esperado.
Observação sobre hipóteses escondidas: aqui estamos supondo que não há troca de calor (
), que não há trabalho de outra natureza (além do trabalho de fluxo que está incluído em
), e que energia cinética e potencial associados ao escoamento são desprezíveis ou já incluídas em
. Essas são hipóteses usuais nesse tipo de balanço.
Passo 4
Escrevendo explicitamente o balanço em termos de
e
:
- Como
, temos
- Pelo balanço do Passo 3,
. Igualando:
Passo 5
Isolando
e obtendo a equação desejada:
- Subtrai-se
dos dois lados:
- Agora divide-se ambos os lados por
(assumindo enquanto se aplica a manipulação):
Essa é exatamente a relação pedida.