Uma corrente alternada tem valor máximo de 10 A . Determine o valor eficaz.

Passo 1

O enunciado dá o valor máximo (pico) da corrente alternada e pede o valor eficaz. Dados e pedido:
  • Valor máximo: I_{\max}=10\\ \text{A}.
  • Pedir: valor eficaz (também chamado de RMS), isto é I_{\text{eficaz}}.

Passo 2

O que é “valor eficaz”? Vou explicar de um jeito prático: o valor eficaz de uma corrente alternada é o valor de uma corrente contínua que produz a mesma potência média dissipada em uma resistência. Matematicamente, para uma corrente genérica i(t) de período T,
I_{\text{eficaz}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i(t)^{2}\,dt}.
Aqui T é o período da onda (tempo para um ciclo completo) e i(t) é a corrente instantânea no tempo t. Essa fórmula é a definição de RMS (root mean square).

Passo 3

No caso mais comum (e assumido aqui) a corrente alternada é senoidal, ou seja
i(t)=I_{\max}\sin(\omega t),
onde \omega=\dfrac{2\pi}{T} é a frequência angular. Vou usar essa forma para calcular o RMS. Substituindo na definição:
I_{\text{eficaz}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \bigl(I_{\max}\sin(\omega t)\bigr)^{2}\,dt} =I_{\max}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}.

Passo 4

Para avaliar a integral, uso a identidade trigonométrica
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Então
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt\right).
Mas a integral de \cos(2\omega t) ao longo de um período inteiro é zero, porque a função completa ciclos simétricos. Portanto
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\frac{1}{2}.
Substituindo de volta,
I_{\text{eficaz}}=I_{\max}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora aplico o valor numérico dado: I_{\max}=10\\ \text{A}. Assim
I_{\text{eficaz}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\\ \text{A}\approx 7,07\\ \text{A}.
Ou seja, uma corrente contínua de aproximadamente 7,07\\ \text{A} produziria a mesma potência média numa resistência que essa corrente alternada de pico 10\\ \text{A}.

Passo 6

Resumo prático que vale para prova: para senoide pura use sempre
I_{\text{eficaz}}=\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}.
Guarde isso; é usado direto em muitos exercícios de circuitos e potência. Você já chegou no resultado — excelente!

Resposta

I_{\text{eficaz}}=5\sqrt{2}\\ \text{A}\approx 7,07\\ \text{A}