1. A corrente que sai de um poço de gás é constituída por 50 \% de metano, 10 \% etano, 20 \% de propano e 20 \% de n butano, em base molar. Esta corrente é alimentada em um condensador parcial, mantido a uma pressão de 17,24 bar, onde a temperatura é levada a 26,7^{\circ} \mathrm{C}. Determine a fração molar do gás que condensa e as composições das fases líquida e vapor que deixam o condensador.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente alimentar com composição molar (base molar) e condições do condensador, e pede a fração que condensa e as composições das fases saindo do condensador. Lista de dados e perguntas, claramente:
  • Composição molar de alimentação \{z_i\}: z_{\text{CH}_4}=0{,}50,\quad z_{\text{C}_2\text{H}_6}=0{,}10,\quad z_{\text{C}_3\text{H}_8}=0{,}20,\quad z_{n\text{-C}_4\text{H}_{10}}=0{,}20.
  • Pressão total do condensador: \;P=17{,}24\\ \text{bar}.
  • Temperatura do condensador: \;T=26{,}7^\circ\text{C}.
  • Pedidos:
    1. A fração molar do gás que condensa (ou seja, a fração da alimentação que fica na fase líquida).
    2. As composições molares da fase líquida \{x_i\} e da fase vapor \{y_i\} que saem do condensador.
Observação: o enunciado não forneceu diretamente pressões de saturação \,P_i^{\text{sat}}(T)\, nem constantes de Antoine; para cálculo numérico de equilíbrio de vapor‑líquido é necessário conhecer essas pressões de vapor à temperatura dada. A seguir eu explico a teoria e o procedimento passo a passo e, em seguida, faço uma resolução numérica usando valores de pressão de saturação aproximados (declarando explicitamente essas aproximações), para obter um resultado numérico ilustrativo.

Passo 2

Princípio físico e lei usada (explicação didática)
  • Em um condensador parcial mantido a pressão P e temperatura T assume‑se equilíbrio vapor–líquido entre a fase líquida que se forma e o vapor remanescente. Em muitos exercícios básicos supõe‑se validade da Lei de Raoult para componentes líquidos (comportamento ideal na fase líquida) combinada com vapor ideal (ou simplesmente usar razões de fugacidade aproximadas), o que dá a relação:
    y_i = K_i\, x_i,
    onde:
    • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida,
    • y_i é a fração molar do componente i na fase vapor,
    • K_i é o coeficiente de equilíbrio do componente i àquelas condições, definido por
    K_i = \frac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P}
    quando se usa Raoult simplificado (pressão parcial de i na fase vapor aproximada por y_i P e pressão de vapor do líquido por P_i^{\text{sat}}).
  • Aqui P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor (saturada) do componente puro i à temperatura T. Normalmente P_i^{\text{sat}}(T) é obtida de uma tabela ou da equação de Antoine:
    \log_{10}P_i^{\text{sat}}(T) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i},
    em que A_i,B_i,C_i são constantes do componente e T está em °C (ou Kelvin, depende da forma da curva); cada tabela indica a unidade de P_i^{\text{sat}} (mmHg, bar, etc.). É essencial ter essas constantes ou uma tabela para obter os P_i^{\text{sat}}.

Passo 3

Balanço de matéria e equação de Rachford–Rice (método para achar fração de vapor \beta ou fração líquida L)
  • Defina \beta como a fração molar de vapor saída (fração de alimentação que permanece em vapor). A fração que condensa (liquidificada) é L = 1-\beta.
  • Balanço para cada componente i:
    z_i = \beta\, y_i + (1-\beta)\, x_i.
    Usando y_i = K_i x_i obtemos
    z_i = x_i\big[\beta K_i + (1-\beta)\big] = x_i\big[1 + \beta (K_i-1)\big].
    Assim
    x_i = \frac{z_i}{1 + \beta (K_i-1)}.
    Como y_i = K_i x_i, uma vez conhecida \beta podemos obter x_i e y_i.
  • Impor a soma das frações molares na fase vapor igual a 1 resulta na equação de Rachford–Rice, que se usa para achar \beta:
    \sum_i y_i = \sum_i K_i x_i = 1.
    Substituindo x_i dá a função de \beta:
    f(\beta)=\sum_i \frac{z_i(K_i-1)}{1+\beta(K_i-1)} = 0.
    Esta equação tem uma única raiz real \beta no intervalo 0\le\beta\le1 para casos físicos, e pode ser resolvida por iteração (método da bissecção, Newton, ou tentativa e erro).

Passo 4

Procedimento prático de solução (passo a passo que você deve aplicar na prova)
  1. Obtenha P_i^{\text{sat}}(T) para cada componente à temperatura T=26{,}7^\circ\text{C} (tabela ou equação de Antoine).
  2. Calcule K_i = P_i^{\text{sat}}(T)/P com P=17{,}24\\ \text{bar}.
  3. Verifique sinais de K_i-1:
    • Se K_i>1: o componente tende a permanecer na fase vapor.
    • Se K_i<1: o componente tende a se concentrar na fase líquida.
  4. Resolva numericamente \;f(\beta)=\sum_i \dfrac{z_i(K_i-1)}{1+\beta(K_i-1)}=0\; para \beta\in[0,1].
    • Comece avaliando f(0) e f(1); eles têm sinais opostos se houver uma solução física.
    • Use bissecção ou interpolação linear entre pontos para aproximar \beta.
  5. Uma vez \beta encontrada, calcule x_i = \frac{z_i}{1 + \beta (K_i-1)},\qquad y_i = K_i x_i.
  6. Cheque normalizações \sum_i x_i \approx 1 e \sum_i y_i \approx 1 para verificar consistência numérica.

Passo 5

Escolha de dados numéricos (assunções explicitadas) — porque os P_i^{\text{sat}} não foram dados no enunciado, vou usar valores de pressão de vapor aproximados e declarar isso claramente
  • Como o enunciado não forneceu tabelas ou constantes de Antoine, eu adoto valores aproximados de P_i^{\text{sat}} à temperatura T=26{,}7^\circ\text{C} (valores representativos encontrados em tabelas/literatura). Estes valores são aproximações e o resultado numérico será dependente deles; se você tiver uma tabela/Antoine específica, substitua esses P_i^{\text{sat}} e repita o cálculo.
  • Valores aproximados adotados (em bar) à 26{,}7^\circ\text{C} (declaro explicitamente as aproximações): P_{\text{CH}_4}^{\text{sat}}\approx 1000\\ \text{bar (muito alto: CH}_4\text{ está supercrítico a essa }T),áí
P_{\text{C}_2\text{H}_6}^{\text{sat}}\approx 40\\ \text{bar},
P_{\text{C}_3\text{H}_8}^{\text{sat}}\approx 9{,}5\\ \text{bar},
P_{n\text{-C}_4\text{H}_{10}}^{\text{sat}}\approx 3{,}2\\ \text{bar}.
Observação: o valor para metano é um símbolo para indicar que \mathrm{CH}_4 não condensa aqui (o seu P^{\text{sat}} a 26{,}7^\circ\text{C} é extremamente alto ou não aplicável porque está supercrítico); o que importa é que K_{\text{CH}_4}\gg1.

Passo 6

Cálculo dos K_i usando as aproximações acima
  • Com P=17{,}24\\ \text{bar} e os P_i^{\text{sat}} aproximados: K_{\text{CH}_4}=\frac{1000}{17{,}24}\approx 58{,}0,
K_{\text{C}_2\text{H}_6}=\frac{40}{17{,}24}\approx 2{,}32,
K_{\text{C}_3\text{H}_8}=\frac{9{,}5}{17{,}24}\approx 0{,}551,
K_{n\text{-C}_4\text{H}_{10}}=\frac{3{,}2}{17{,}24}\approx 0{,}186.

Passo 7

Resolver a equação de Rachford–Rice numericamente para \beta
  • Função: f(\beta)=\sum_{i}\frac{z_i(K_i-1)}{1+\beta(K_i-1)}.
  • Usando z_i e K_i acima, faço tentativas para localizar a raiz:
    • f(0)\approx 28{,}4794 (positivo),
    • f(1)\approx -0{,}4897 (negativo),
      logo há uma raiz entre 0 e 1.
  • Testes por tentativa e erro (mostro alguns pontos para aprendizado):
    • \beta=0{,}5\Rightarrow f(0{,}5)\approx 0{,}6552 (positivo).
    • \beta=0{,}8\Rightarrow f(0{,}8)\approx 0{,}0686 (positivo).
    • \beta=0{,}85\Rightarrow f(0{,}85)\approx -0{,}0354 (negativo).
  • Interpolando entre 0{,}80 e 0{,}85 (interpolação linear grosso modo) encontro \beta \approx 0{,}833.Portanto a fração de vapor \beta\approx 0{,}833 e a fração líquida (que condensa) é L = 1-\beta \approx 0{,}167.Interpretação: cerca de 16{,}7\% da alimentação condensa formando a fase líquida; cerca de 83{,}3\% sai como vapor.

Passo 8

Cálculo das composições das fases uma vez \beta conhecido
  • Fórmula para x_i:
    x_i = \frac{z_i}{1+\beta(K_i-1)}.
    Substituindo \beta=0{,}833 e os K_i aproximados obtém‑se:
    x_{\text{CH}_4}\approx 0{,}01032,\quad x_{\text{C}_2\text{H}_6}\approx 0{,}04764,\quad x_{\text{C}_3\text{H}_8}\approx 0{,}3195,\quad x_{n\text{-C}_4\text{H}_{10}}\approx 0{,}6211.
    (checagem: \sum_i x_i\approx 1{,}00.)
  • Fórmula para y_i:
    y_i = K_i x_i.
    Calculando:
    y_{\text{CH}_4}\approx 0{,}5986,\quad y_{\text{C}_2\text{H}_6}\approx 0{,}1106,\quad y_{\text{C}_3\text{H}_8}\approx 0{,}1760,\quad y_{n\text{-C}_4\text{H}_{10}}\approx 0{,}1155.
    (checagem: \sum_i y_i\approx 1{,}00.)

Passo 9

Interpretação e observações finais / incentivo
  • Resultado (com as aproximações adotadas): cerca de 16{,}7\% da alimentação condensa; o líquido formado é rico em n-butano e propano (maior concentração em n-butano), enquanto o vapor é dominado por metano e etano.
  • Importante: os números acima dependem da precisão dos P_i^{\text{sat}}(T) usados. Na prova você deve:
    • usar as constantes de Antoine ou tabela fornecida pelo professor/mesa de consulta,
    • calcular os P_i^{\text{sat}} com cuidado (mesma unidade da pressão total),
    • então aplicar exatamente o mesmo procedimento (Rachford–Rice) mostrado aqui.
  • Você está indo bem — o passo mais “chato” é obter os P_i^{\text{sat}}; o resto é álgebra simples e uma iteração numérica rápida. Confia que dá tempo na prova!

Resposta

Fração que condensa (liquida): 0{,}167 (≈16,7%).
Composição líquida: x_{\text{CH}_4}=0{,}01032,\;x_{\text{C}_2\text{H}_6}=0{,}04764,\;x_{\text{C}_3\text{H}_8}=0{,}3195,\;x_{n\text{-C}_4\text{H}_{10}}=0{,}6211.
Composição vapor: y_{\text{CH}_4}=0{,}5986,\;y_{\text{C}_2\text{H}_6}=0{,}1106,\;y_{\text{C}_3\text{H}_8}=0{,}1760,\;y_{n\text{-C}_4\text{H}_{10}}=0{,}1155.
Observação: esses resultados numéricos foram obtidos usando pressões de saturação aproximadas (declaradas no passo 5). Se você tiver as constantes de Antoine/tabela do seu curso, substitua os P_i^{\text{sat}} exatos e repita o cálculo para obter os valores finais corretos.

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