1. Uma mistura contendo 25 \% de n-pentano, 45 \% de n hexano e 30 \% de n-heptano, em base molar, é levada à condição de 68,35^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar. Qual é a fração do sistema que se encontra líquida, em base molar, e quais são as composições das fases?

Passo 1

O enunciado diz: uma mistura com 25\% de n-pentano, 45\% de n-hexano e 30\% de n-heptano, em base molar (ou seja, frações molares globais \,z_{C5}=0,25\,,\,z_{C6}=0,45\,,\,z_{C7}=0,30), é levada a 68{,}35^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar}. Pergunta-se: (1) qual é a fração do sistema que se encontra líquida (em base molar)? e (2) quais são as composições das fases (frações molares na fase líquida e na fase vapor)?\n\nInformações dadas explicitamente:\n \,z_{C5}=0{,}25\,,\;z_{C6}=0{,}45\,,\;z_{C7}=0{,}30\;,\;T=68{,}35^\circ\mathrm{C}\;,\;P=1\\ \mathrm{bar}.

Passo 2

Assunções e método a usar (sem resolver ainda):\n- Vou assumir mistura ideal de líquidos e vapor ideal para o equilíbrio vapor–líquido, então uso a lei de Raoult: \,y_i = K_i x_i com \,K_i = \dfrac{P_i^{\mathrm{sat}}(T)}{P}.\n- Para cálculo de P_i^{\mathrm{sat}}(T) uso a equação de Antoine: \log_{10} P_{\mathrm{mmHg}} = A - \dfrac{B}{T_C+C} (pressão em mmHg e T_C em ^\circ\mathrm{C}). Vou indicar os coeficientes Antoine usados e calcular P_i^{\mathrm{sat}} em bar.\n- Para encontrar a fração vapor V (ou fração líquida L=1-V) resolvo a equação de balanço material em equilíbrio (equação de Rachford–Rice):
\sum_i \dfrac{z_i (K_i-1)}{1 + V (K_i-1)} = 0.
Depois de obter V, obtenho x_i por
x_i = \dfrac{z_i}{1 - V + V K_i}
e y_i = K_i x_i.\n\nAgora vamos aplicar isso passo a passo, com explicações didáticas.

Passo 3

Antoine: fórmula e coeficientes usados.\nA equação de Antoine (forma usada aqui) é
\log_{10} P_{\mathrm{mmHg}} = A - \dfrac{B}{T_C + C},
onde P_{\mathrm{mmHg}} é a pressão de vapor em mmHg e T_C é a temperatura em ^\circ\mathrm{C}.\nVou usar os seguintes coeficientes (valores típicos para os alcanos considerados, unidades compatíveis com mmHg):\n n-pentano: A=6{,}85228,\; B=1064{,}84,\; C=233{,}78\n n-hexano: A=6{,}87630,\; B=1171{,}53,\; C=224{,}00\n n-heptano: A=6{,}90270,\; B=1263{,}69,\; C=216{,}50\nEsses coeficientes produzem P^{\mathrm{sat}} razoáveis nas faixas de temperatura consideradas. Depois de obter P_{\mathrm{mmHg}} converto para bar usando 1\\ \mathrm{mmHg}=0{,}00133322\\ \mathrm{bar}.\n(Explicação curta: cada substância tem sua própria curva de vapor; Antoine é uma forma empírica conveniente para estimar P^{\mathrm{sat}} a partir da temperatura.)

Passo 4

Cálculo de P_i^{\mathrm{sat}}(T) no ponto T=68{,}35^\circ\mathrm{C}.\nComputei para cada componente:
Para n-pentano:
T_C=68{,}35,\quad \log_{10}P_{\mathrm{mmHg}}=6{,}85228-\dfrac{1064{,}84}{68{,}35+233{,}78} =6{,}85228-\dfrac{1064{,}84}{302{,}13}=3{,}32728,
P_{\mathrm{mmHg}}=10^{3{,}32728}=2122{,}6\\ \mathrm{mmHg},
P^{\mathrm{sat}}_{C5}=2122{,}6\times0{,}00133322=2{,}829\\ \mathrm{bar}.
Para n-hexano:
\log_{10}P_{\mathrm{mmHg}}=6{,}87630-\dfrac{1171{,}53}{68{,}35+224{,}00} =6{,}87630-\dfrac{1171{,}53}{292{,}35}=2{,}8703,
P_{\mathrm{mmHg}}=10^{2{,}8703}=741{,}6\\ \mathrm{mmHg},
P^{\mathrm{sat}}_{C6}=741{,}6\times0{,}00133322=0{,}9888\\ \mathrm{bar}.
Para n-heptano:
\log_{10}P_{\mathrm{mmHg}}=6{,}90270-\dfrac{1263{,}69}{68{,}35+216{,}50} =6{,}90270-\dfrac{1263{,}69}{284{,}85}=2{,}4652,
P_{\mathrm{mmHg}}=10^{2{,}4652}=292{,}1\\ \mathrm{mmHg},
P^{\mathrm{sat}}_{C7}=292{,}1\times0{,}00133322=0{,}3895\\ \mathrm{bar}.
Resumo (valores calculados):
P^{\mathrm{sat}}_{C5}=2{,}829\\ \mathrm{bar},\quad P^{\mathrm{sat}}_{C6}=0{,}9888\\ \mathrm{bar},\quad P^{\mathrm{sat}}_{C7}=0{,}3895\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Cálculo dos fatores de equilíbrio K_i (lema de Raoult para mistura ideal):
K_i=\dfrac{P_i^{\mathrm{sat}}(T)}{P}.
Como P=1\\ \mathrm{bar},
K_{C5}=2{,}829,\quad K_{C6}=0{,}9888,\quad K_{C7}=0{,}3895.
Interpretação rápida: K>1 significa que a espécie prefere a fase vapor (volátil); K<1 prefere a fase líquida.

Passo 6

Equação de balanço (Rachford–Rice) para encontrar a fração vapor V:
f(V)=\sum_i \dfrac{z_i (K_i-1)}{1 + V (K_i-1)} = 0,
onde z_i são as frações molares globais. Substituindo z e K:
f(V)=\dfrac{0{,}25(2{,}829-1)}{1+V(2{,}829-1)} +\dfrac{0{,}45(0{,}9888-1)}{1+V(0{,}9888-1)} +\dfrac{0{,}30(0{,}3895-1)}{1+V(0{,}3895-1)}.
Para resolver f(V)=0 usei busca numérica (método da bisecção), avaliando f(V) em pontos até encontrar raiz entre 0 e 1. Mostro alguns valores avaliados para intuição:
  • V=0: f(0)=0{,}26906>0. (significa que, se todo líquido, o sistema tenderia a vaporizar parte)
  • V=0{,}4: f(0{,}4)=0{,}01674>0.
  • V=0{,}44: f(0{,}44)=-0{,}00217<0.
Assim a raiz está entre 0{,}4 e 0{,}44. Refinando mais (bisseção) encontrei a raiz aproximada:
V \approx 0{,}435\\ (\text{fração molar vapor}).çã

Passo 7

Fração líquida e verificação simples:\nA fração líquida em base molar é L=1-V. Então
L = 1 - 0{,}435 = 0{,}565.
Cheque rápido: V está entre 0 e 1 e a mudança de sinal do f(V) confirma que temos fase bifásica.

Passo 8

Cálculo das composições das fases. Fórmula usada (derivada do balanço material):
x_i = \dfrac{z_i}{1 - V + V K_i},\qquad y_i = K_i x_i.
Vou calcular componente a componente com V=0{,}435 e os K_i anteriores.
Para n-pentano ( i=C5):
1 - V + V K_{C5} = 0{,}565 + 0{,}435\times2{,}829 = 1{,}7958,
x_{C5} = \dfrac{0{,}25}{1{,}7958} = 0{,}1392,
y_{C5} = K_{C5} x_{C5} = 2{,}829\times0{,}1392 = 0{,}3939.
Para n-hexano ( i=C6):
1 - V + V K_{C6} = 0{,}565 + 0{,}435\times0{,}9888 = 0{,}9950,
x_{C6} = \dfrac{0{,}45}{0{,}9950} = 0{,}4523,
y_{C6} = K_{C6} x_{C6} = 0{,}9888\times0{,}4523 = 0{,}4469.
Para n-heptano ( i=C7):
1 - V + V K_{C7} = 0{,}565 + 0{,}435\times0{,}3895 = 0{,}7344,
x_{C7} = \dfrac{0{,}30}{0{,}7344} = 0{,}4087,
y_{C7} = K_{C7} x_{C7} = 0{,}3895\times0{,}4087 = 0{,}1592.
Verificação de normalização:
\sum x_i \approx 0{,}1392+0{,}4523+0{,}4087=1{,}0002\\ (\text{aprox }1),
\sum y_i \approx 0{,}3939+0{,}4469+0{,}1592=1{,}0000\\ (\text{aprox }1),
quais confirmam consistência numérica (pequeno erro de arredondamento aceitável).

Passo 9

Interpretação dos resultados (rápida e motivadora):\n- A mistura a 68{,}35^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar} separa-se em fases: cerca de 56{,}5\% em mols está na fase líquida e 43{,}5\% em mols na fase vapor.\n- O vapor é enriquecido em n-pentano (componente mais volátil), enquanto o líquido é enriquecido em n-heptano (componente menos volátil). Isso é exatamente o que a lei de Raoult + equilíbrio ideal prevê: componentes mais voláteis têm maior fração na fase vapor.

Resposta

L=0{,}565\n
x_{C5}=0{,}139,\;x_{C6}=0{,}452,\;x_{C7}=0{,}409\n
y_{C5}=0{,}394,\;y_{C6}=0{,}447,\;y_{C7}=0{,}159

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