Uma corrente de ar na temperatura de 900K e pressão de 18 bar entra numa turbina que opera em regime permanente com vazão volumétrica de 350 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. A turbina tem duas saídas, sendo uma de diâmetro de 0,5 \mathrm{~m}, por onde sai 40 \% da taxa de massa do ar que entra na turbina numa temperatura de 600 K e Pressão de 10,0 bar, e o restante do ar que entra na turbina sai numa tubulação de diâmetro de 1,0 \mathrm{~m} na temperatura de 500 K e pressão de 131,15 \mathrm{kPa} Calcule a velocidade do ar nas duas tubulações de saída da turbina. Considere que o ar tem comportamento de gás ideal. Dados: Massa molar do ar 28,851 \mathrm{~kg} / \mathrm{kmol}, \mathrm{cp} / \mathrm{R}=3,509

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular as velocidades do ar nas duas tubulações de saída da turbina.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
  • Vazão volumétrica de entrada: \dot V_{\text{in}} = 350\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • Condição de entrada: T_{\text{in}} = 900\\ \mathrm{K}, P_{\text{in}} = 18{,}0\\ \mathrm{bar}.
  • Saída 1 (tubulação menor): diâmetro d_1 = 0{,}5\\ \mathrm{m}; sai 40\% da massa que entra; condição de saída 1: T_1 = 600\\ \mathrm{K}, P_1 = 10{,}0\\ \mathrm{bar}.
  • Saída 2 (tubulação maior): diâmetro d_2 = 1{,}0\\ \mathrm{m}; sai o restante da massa; condição de saída 2: T_2 = 500\\ \mathrm{K}, P_2 = 131{,}15\\ \mathrm{kPa}.
  • Massa molar do ar: M = 28{,}851\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • Constante universal dos gases: R_u = 8314\\ \mathrm{J/(kmol\cdot K)} (valor padrão, usado para calcular R).
  • Dado adicional: \dfrac{c_p}{R} = 3{,}509 (não será necessário para o cálculo das velocidades).
Observações úteis (não resolvo nada aqui, só organizando): vou precisar da lei dos gases ideais para obter densidades em cada condição e da conservação de massa em regime permanente para dividir a vazão mássica entre as saídas. Em seguida calculo áreas das mangueiras e uso \,v=\dfrac{\dot m}{\rho A}\, para achar as velocidades.

Passo 2

Vamos primeiro colocar todas as grandezas nas unidades SI e transformar percentuais em frações:
\dot V_{\text{in}}=\frac{350}{60}=\;5{,}833333\\ \mathrm{m^{3}/s}.
P_{\text{in}}=18{,}0\\ \mathrm{bar}=18{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=1{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
P_{1}=10{,}0\\ \mathrm{bar}=10{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
P_{2}=131{,}15\\ \mathrm{kPa}=131{,}15\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=1{,}3115\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Frações de massa:
\dot m_1 = 0{,}40\,\dot m_{\text{in}},\qquad \dot m_2 = 0{,}60\,\dot m_{\text{in}}.

Passo 3

Calcular a constante específica do ar R (constante dos gases por unidade de massa).
Fórmula e significado:
R = \frac{R_u}{M},
onde R_u é a constante universal dos gases (em \mathrm{J/(kmol\cdot K)}) e M é a massa molar em \mathrm{kg/kmol}. O resultado R fica em \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Cálculo numérico:
R=\frac{8314}{28{,}851}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx 288{,}108\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(este valor é a constante dos gases para o ar usada nas próximas contas.)

Passo 4

Usar a equação de estado do gás ideal para obter a densidade na entrada:
Fórmula:
\rho=\frac{P}{R\,T},
onde \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}), P a pressão ( \mathrm{Pa}), R a constante específica ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e T a temperatura ( \mathrm{K}).
Densidade na entrada:
\rho_{\text{in}}=\frac{P_{\text{in}}}{R\,T_{\text{in}}} =\frac{1{,}8\times10^{6}}{288{,}108\times900} \approx 6{,}9416\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 5

Calcular a vazão mássica total de entrada usando \dot m=\rho\dot V:
\dot m_{\text{in}}=\rho_{\text{in}}\,\dot V_{\text{in}} =6{,}9416\times 5{,}833333 \approx 40{,}4927\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Determinar as vazões mássicas nas saídas pela fração dada:
\dot m_1=0{,}40\,\dot m_{\text{in}}=0{,}40\times40{,}4927\approx 16{,}1971\\ \mathrm{kg/s},
\dot m_2=0{,}60\,\dot m_{\text{in}}=0{,}60\times40{,}4927\approx 24{,}2956\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Calcular as densidades nas duas saídas com a equação dos gases ideais (mesma fórmula do Passo 4):
Para a saída 1:
\rho_1=\frac{P_1}{R\,T_1} =\frac{1{,}0\times10^{6}}{288{,}108\times600} \approx 5{,}7859\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Para a saída 2:
\rho_2=\frac{P_2}{R\,T_2} =\frac{1{,}3115\times10^{5}}{288{,}108\times500} \approx 0{,}9099\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 8

Calcular as áreas das secções transversais das tubulações:
Fórmula:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Área da tubulação 1 ( d_1=0{,}5\\ \mathrm{m}):
A_1=\frac{\pi(0{,}5)^{2}}{4}=\pi\times0{,}0625\approx 0{,}1963495\\ \mathrm{m^{2}}.
Área da tubulação 2 ( d_2=1{,}0\\ \mathrm{m}):
A_2=\frac{\pi(1{,}0)^{2}}{4}=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}7853982\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 9

Calcular as velocidades usando \,v=\dfrac{\dot m}{\rho A}\,. Explicando: a velocidade média na seção é tal que a massa que passa por segundo é a densidade vezes área vezes velocidade; isolando v obtemos a fórmula usada.
Velocidade na saída 1:
v_1=\frac{\dot m_1}{\rho_1 A_1} =\frac{16{,}1971}{5{,}7859\times0{,}1963495} \approx 14{,}26\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade na saída 2:
v_2=\frac{\dot m_2}{\rho_2 A_2} =\frac{24{,}2956}{0{,}9099\times0{,}7853982} \approx 34{,}00\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Pequena checagem e comentário: faz sentido fisicamente — a tubulação menor com massa menor por segundo tem ar mais denso (pressão maior) e resulta numa velocidade moderada ( \sim14\\ \mathrm{m/s}). A tubulação maior, apesar de ter área maior, conduz mais massa por segundo e em pressão muito menor, resultando em velocidade maior ( \sim34\\ \mathrm{m/s}). Tudo consistente com as quantidades dadas.

Resposta

\,v_1 = 14{,}26\\ \mathrm{m/s}
\,v_2 = 34{,}00\\ \mathrm{m/s}

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