Dada a equação diferença: y[n]-\frac{5}{6} y[n-1]+\frac{1}{6} y[n-2]=0 com y[-1]=19 e y[-2]=53, determine y[n].
(1p)

Passo 1

O enunciado dá uma equação de diferença de segunda ordem e pede para determinar y[n]. Dados fornecidos:
y[n]-\frac{5}{6}\,y[n-1]+\frac{1}{6}\,y[n-2]=0
Condições iniciais:
y[-1]=19,\qquad y[-2]=53.
Pergunta explícita: determinar a expressão de y[n] válida para os inteiros n (usar os dados acima).

Passo 2

Aqui vamos resolver a equação homogênea de coeficientes constantes usando o método do polinômio característico. Ideia (explicação didática): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, as soluções típicas são exponenciais do tipo r^{n}. Substituindo y[n]=r^{n} na equação, obtemos um polinômio em r chamado polinômio característico; as raízes desse polinômio dão as bases das exponenciais que compõem a solução geral. Não estou assumindo que você conheça isso: pense que estamos testando se uma sequência geométrica r^n satisfaz a relação — isso reduz o problema a resolver um polinômio em r.

Passo 3

Formamos o polinômio característico substituindo y[n]=r^{n} (e assim y[n-1]=r^{n-1}, y[n-2]=r^{n-2}):
r^{n}-\frac{5}{6}r^{n-1}+\frac{1}{6}r^{n-2}=0.
Dividindo por r^{n-2} (assumindo r\neq0) obtemos o polinômio de segundo grau:
r^{2}-\frac{5}{6}r+\frac{1}{6}=0.

Passo 4

Resolvemos o polinômio característico. Primeiro calculemos o discriminante para encontrar as raízes:
\Delta=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}-4\cdot1\cdot\frac{1}{6}=\frac{25}{36}-\frac{4}{6}=\frac{25}{36}-\frac{24}{36}=\frac{1}{36}.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=\frac{1}{6}. Então as raízes são
r=\frac{\frac{5}{6}\pm\frac{1}{6}}{2}.
Calculando as duas opções:
r_{1}=\frac{\frac{5}{6}+\frac{1}{6}}{2}=\frac{1}{2}, \qquad r_{2}=\frac{\frac{5}{6}-\frac{1}{6}}{2}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Como as raízes r_{1} e r_{2} são distintas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das sequências geométricas correspondentes. Ou seja:
y[n]=A\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+B\left(\frac{1}{3}\right)^{n},
onde A e B são constantes que vamos determinar a partir das condições fornecidas. Aqui A e B são números reais (constantes independentes de n).

Passo 6

Agora usamos as condições iniciais para achar A e B. Atenção: as condições estão em índices negativos; isso é perfeitamente válido porque a fórmula acima vale para todo n inteiro. Substituímos n=-1 e n=-2.
Substituindo n=-1:
y[-1]=A\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}+B\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=A\cdot 2 + B\cdot 3.
Como y[-1]=19, temos a equação
2A+3B=19.
Substituindo n=-2:
y[-2]=A\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}+B\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=A\cdot 4 + B\cdot 9.
Como y[-2]=53, temos a equação
4A+9B=53.

Passo 7

Resolvemos o sistema linear em A\) e \(B\): \[\begin{cases} 2A+3B=19,\\[4pt] 4A+9B=53. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2\] obtemos \(4A+6B=38. Subtraindo essa da segunda:
(4A+9B)-(4A+6B)=3B=53-38=15,
logo
B=5.
Voltando em 2A+3B=19:
2A+3\cdot 5=19 \implies 2A+15=19 \implies 2A=4 \implies A=2.]

Passo 8

Encontramos os coeficientes:
A=2,\qquad B=5.
Com esses valores, a solução específica da equação é obtida substituindo A e B na forma geral y[n]=A(1/2)^{n}+B(1/3)^{n}. Você pode usar essa fórmula para qualquer n inteiro; por exemplo, para n=0 y[0]=2+5=7 (cheque rápido para ver coerência).

Resposta

y[n]=2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}+5\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}

Exercícios relacionados