Dada a equação diferença:
com
e
, determine
.
(1p)
(1p)
Passo 1
O enunciado dá uma equação de diferença de segunda ordem e pede para determinar
. Dados fornecidos:
Condições iniciais:
Pergunta explícita: determinar a expressão de
válida para os inteiros
(usar os dados acima).
Passo 2
Aqui vamos resolver a equação homogênea de coeficientes constantes usando o método do polinômio característico. Ideia (explicação didática): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, as soluções típicas são exponenciais do tipo
. Substituindo
na equação, obtemos um polinômio em
chamado polinômio característico; as raízes desse polinômio dão as bases das exponenciais que compõem a solução geral. Não estou assumindo que você conheça isso: pense que estamos testando se uma sequência geométrica
satisfaz a relação — isso reduz o problema a resolver um polinômio em
.
Passo 3
Formamos o polinômio característico substituindo
(e assim
,
):
Dividindo por
(assumindo
) obtemos o polinômio de segundo grau:
Passo 4
Resolvemos o polinômio característico. Primeiro calculemos o discriminante para encontrar as raízes:
A raiz quadrada do discriminante é
. Então as raízes são
Calculando as duas opções:
Passo 5
Como as raízes
e
são distintas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das sequências geométricas correspondentes. Ou seja:
onde
e
são constantes que vamos determinar a partir das condições fornecidas. Aqui
e
são números reais (constantes independentes de
).
Passo 6
Agora usamos as condições iniciais para achar
e
. Atenção: as condições estão em índices negativos; isso é perfeitamente válido porque a fórmula acima vale para todo
inteiro. Substituímos
e
.
Substituindo
:
Como
, temos a equação
Substituindo
:
Como
, temos a equação
Passo 7
Resolvemos o sistema linear em
Multiplicando a primeira equação por
. Subtraindo essa da segunda:
logo
Voltando em
:
Passo 8
Encontramos os coeficientes:
Com esses valores, a solução específica da equação é obtida substituindo
e
na forma geral
. Você pode usar essa fórmula para qualquer
inteiro; por exemplo, para
dá
(cheque rápido para ver coerência).