Dada a equação diferencial
y^(3)-9 y^prime=108 e^3 x
e as condições iniciais y(0)=0, y^prime(0)=0 e y^prime prime(0)=0.
Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de terceira ordem:
y^(3) - 9 y' = 108 e^3x
Além disso, temos condições iniciais: , e . O objetivo é mostrar que uma determinada função (que supostamente já encontramos na parte b) resolve essa equação. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y^(3) - 9 y' = 0
Isso significa que estamos buscando soluções da equação sem o termo não homogêneo .

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica substituindo r^3 - 9r = 0 :
r(r^2 - 9) = 0
Fatorando, temos:
Então, as raízes são , e .

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 + C2 e^3x + C3 e^-3x
Onde , e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular y^(3) - 9 y' = 108 e^3x da equação completa:
yp(x) = A x e^3x
Observando o termo não homogêneo , notamos que já é solução da homogênea. Portanto, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Vamos tentar:

Passo 6

Calculamos as derivadas necessárias de yp'(x) = A e^3x + 3A x e^3x :
Primeira derivada:
yp''(x) = 6A e^3x + 9A x e^3x
Segunda derivada:
yp'''(x) = 27A e^3x + 27A x e^3x
Terceira derivada:

Passo 7

Substituímos yp''' - 9 yp' = 108 e^3x e suas derivadas na equação diferencial:
(27A e^3x + 27A x e^3x) - 9(A e^3x + 3A x e^3x) = 108 e^3x
Substituindo:
27A e^3x + 27A x e^3x - 9A e^3x - 27A x e^3x = 108 e^3x
Simplificando:
(27A - 9A) e^3x = 108 e^3x
18A e^3x = 108 e^3x

Passo 8

Resolvendo para 18A = 108 A = 10818 = 6 :
yp(x) = 6x e^3x
Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^3x + C3 e^-3x + 6x e^3x

Passo 10

Aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes 0 = C1 + C2 + C3 + 0 C1 + C2 + C3 = 0 (1) , y'(x) = 3C2 e^3x - 3C3 e^-3x + 6 e^3x + 18x e^3x e 0 = 3C2 - 3C3 + 6 3C2 - 3C3 = -6 (2) .
Primeira condição: y''(x) = 9C2 e^3x + 9C3 e^-3x + 18 e^3x + 54x e^3x
0 = 9C2 + 9C3 + 18 9C2 + 9C3 = -18 (3)
Segunda condição:
Calculando a derivada geral:
Aplicando :
Terceira condição:
Calculando a segunda derivada geral:
Aplicando :

Passo 11

Resolvendo o sistema de equações:
Das equações (2) e (3):
Dividindo (2) por 3:
C2 - C3 = -2 (2')
Dividindo (3) por 9:
C2 + C3 = -2 (3')
Somando (2’) e (3’):
2C2 = -4 C2 = -2
Substituindo -2 - C3 = -2 C3 = 0 em (2’):
C1 - 2 + 0 = 0 C1 = 2
Substituindo e em (1):

Passo 12

Com as constantes encontradas, a solução da equação diferencial é:
y(x) = 2 - 2 e^3x + 6x e^3x

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial dada e atende às condições iniciais apresentadas.

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