Dada a equação diferencial
e as condições iniciais
e
.
Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de terceira ordem:
Além disso, temos condições iniciais:
,
e
. O objetivo é mostrar que uma determinada função (que supostamente já encontramos na parte b) resolve essa equação. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso significa que estamos buscando soluções da equação sem o termo não homogêneo
.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica substituindo
:
Fatorando, temos:
Então, as raízes são
,
e
.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa:
Observando o termo não homogêneo
, notamos que
já é solução da homogênea. Portanto, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Vamos tentar:
Passo 6
Calculamos as derivadas necessárias de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 7
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
,
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Calculando a derivada geral:
Aplicando
:
Terceira condição:
Calculando a segunda derivada geral:
Aplicando
:
Passo 11
Resolvendo o sistema de equações:
Das equações (2) e (3):
Dividindo (2) por 3:
Dividindo (3) por 9:
Somando (2’) e (3’):
Substituindo
em (2’):
Substituindo
e
em (1):
Passo 12
Com as constantes encontradas, a solução da equação diferencial é:
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial dada e atende às condições iniciais apresentadas.