Dada a seguinte função de densidade de probabilidade (PDF) para o tempo de falha (em horas de operação) de um motor industrial,
f(t)-0.002(0.002 t+1)^3, t >= 0
  • Qual é a confiabilidade para uma missão de 200 horas? Resposta: R(t) cong 0 , 7 5 5 cong 7 5 , 5 %
  • Qual é a probabilidade de falha deste motor entre 50 horas e 200 horas? Resposta: P ( 5 0 <= T <= 200)=F(200)-F(50) cong 0 1 5 8 1 cong 1 5 , 8 1 %
    (Observação: Obrigatório resolver e detalhar as integrais necessárias).

Passo 1

Beleza, mano! A gente tem uma função densidade de probabilidade
f(t)=0.002(0.002,t+1)^3, t>=0
E quer duas coisas:
1) A confiabilidade em 200 h, ou seja
R(200)=P(T>200)
  1. A probabilidade de falha entre 50 h e 200 h, ou seja P(50<= T<=200)=F(200)-F(50)
    Conteúdo que vamos usar: definição de CDF
    F(t)=integral0^tf(u),du
e de confiabilidade
R(t)=1-F(t)ou R(t)=integralt^inftyf(u),du
Claro que a gente vai ter que resolver as integrais passo a passo.

Passo 2

Calcular a CDF F(t)=integral0^t0.002(0.002,u+1)^3,du. Começamos com
y=0.002,u+1Rightarrow dy=0.002,duRightarrow du=dy0.002
Fazemos a mudança de variável
F(t) =integraly=1^y=0.002t+10.002y^3cdotdy0.002 =integral1^0.002t+1y^-3,dy
Quando F(t) =l[-tfrac12,y^-2r]1^0.002t+1 =-tfrac12l((0.002t+1)^-2-1^-2r) =tfrac12l(1-(0.002t+1)^-2r) , . Quando , .
Então
A primitiva de é . Logo

Passo 3

Agora a confiabilidade em 200 h:
R(200)=1-F(200) =1-tfrac12l(1-(0.002cdot200+1)^-2r) =tfrac12l(1+(0.002cdot200+1)^-2r)
Note que R(200) =tfrac12l(1+11.4^2r) =tfrac12l(1+11.96r) =tfrac12l(1+0.5102r) approx0.7551;l(75,51%r) , então

Passo 4

A probabilidade de falha entre 50 h e 200 h é
P(50<= T<=200) =F(200)-F(50)
Já temos F(200)=tfrac12l(1-1/1.4^2r) =tfrac12(1-0.5102) =0.2449 .
Para 0.002cdot50+1=1.1Longrightarrow F(50)=tfrac12l(1-1/1.1^2r) =tfrac12l(1-1/1.21r) =tfrac12(1-0.8264) =0.0868 :
P(50<= T<=200) =0.2449-0.0868 approx0.1581;l(15,81%r)
Para :
Logo

Resposta

Confiabilidade em 200 h:
R(200)approx0,755;(75,5%),
Probabilidade de falha entre 50 h e 200 h:
P(50<= T<=200)approx0,1581;(15,81%)

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