Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del correspondiente espacio vectorial
indicado.
en
Passo 1
Enunciado e o que se pede:
é um subconjunto de
.
A pergunta é: decidir se é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
é o conjunto de todos os pares
em que o produto das coordenadas é zero, ou seja, pelo enunciado
.
A pergunta é: decidir se
Informações relevantes dadas no enunciado:
Passo 2
O que significa ser subespaço vetorial (fórmula e explicação didática):
Um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades básicas:
Um subconjunto
- O vetor nulo de
pertence a . Isso garante que não esteja vazio e que tenha o elemento neutro da soma. - Fechamento por soma: para quaisquer
, deve valer . Isto significa que somar dois vetores de não pode sair de . - Fechamento por multiplicação escalar: para qualquer
e qualquer escalar , deve valer .
Explicação rápida do porquê essas condições são suficientes: se
contém o zero, é fechado para soma e para multiplicação por escalar, então qualquer combinação linear
de vetores de
permanece em
, e isso caracteriza subespaço.
Passo 3
Identificar explicitamente o conjunto
(interpretação geométrica):
A condição significa que pelo menos uma das coordenadas é zero. Então, explicitamente,
A condição
Ou seja,
é a união do eixo
(reta horizontal) com o eixo
(reta vertical) em
.
Passo 4
Verificar a presença do vetor nulo:
O vetor nulo em é
. Como
, temos
. Portanto a primeira condição (não vazio / contém o zero) é satisfeita.
O vetor nulo em
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (demonstração passo a passo):
Pegue um vetor arbitrário . Pelas possibilidades em
temos duas situações:
Pegue um vetor arbitrário
- Se
com , então para qualquer escalar temos . O produto das coordenadas é , logo . - Se
com , então e , logo .
No casotambém vale trivialmente. Assim, para qualquer e qualquer temos . Portanto é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Verificar fechamento por soma — tentar provar ou achar contraexemplo:
Para concluir se é subespaço precisamos também que a soma de dois vetores arbitrários de
pertença a
. Em vez de tentar fazer uma prova geral, é mais eficiente procurar um contraexemplo simples (se existir, mostra que não é subespaço).
Para concluir se
Considere os vetores
e
.
Ambos satisfazem a condição do enunciado:
Ambos satisfazem a condição do enunciado:
Somando-os:
Verificamos se
calculando o produto das coordenadas:
Logo
. Portanto
não é fechado por soma.
Passo 7
Conclusão e interpretação didática:
Encontramos dois vetores de cuja soma não pertence a
. Isso já basta para afirmar que
não é subespaço vetorial de
, porque viola a condição de fechamento por adição. Intuitivamente:
é a união de duas retas que passam pela origem (o eixo
e o eixo
); a união de dois subespaços só é subespaço se um estiver contido no outro (o que não é o caso aqui).
Encontramos dois vetores de
Resposta
Não —
não é subespaço vetorial de
.