Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del correspondiente espacio vectorial \mathbf{V} indicado.
\mathbf{W}=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} / x \cdot y=0\right\} en \mathbf{V}=\mathbf{R}^{2}

Passo 1

Enunciado e o que se pede:
\mathbf{W}=\left\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}\mid x\cdot y=0\right\} é um subconjunto de \mathbf{V}=\mathbf{R}^{2}.
A pergunta é: decidir se \mathbf{W} é um subespaço vetorial de \mathbf{R}^{2}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\mathbf{W} é o conjunto de todos os pares (x,y) em que o produto das coordenadas é zero, ou seja, pelo enunciado \,x\cdot y=0.

Passo 2

O que significa ser subespaço vetorial (fórmula e explicação didática):
Um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades básicas:
  1. O vetor nulo de V pertence a U. Isso garante que U não esteja vazio e que tenha o elemento neutro da soma.
  2. Fechamento por soma: para quaisquer u_1,u_2\in U, deve valer u_1+u_2\in U. Isto significa que somar dois vetores de U não pode sair de U.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: para qualquer u\in U e qualquer escalar \lambda\in\mathbf{R}, deve valer \lambda u\in U.
Explicação rápida do porquê essas condições são suficientes: se U contém o zero, é fechado para soma e para multiplicação por escalar, então qualquer combinação linear \alpha u+\beta v de vetores de U permanece em U, e isso caracteriza subespaço.

Passo 3

Identificar explicitamente o conjunto \mathbf{W} (interpretação geométrica):
A condição x\cdot y=0 significa que pelo menos uma das coordenadas é zero. Então, explicitamente,
\mathbf{W}=\{(x,0)\mid x\in\mathbf{R}\}\cup\{(0,y)\mid y\in\mathbf{R}\}.
Ou seja, \mathbf{W} é a união do eixo x (reta horizontal) com o eixo y (reta vertical) em \mathbf{R}^{2}.

Passo 4

Verificar a presença do vetor nulo:
O vetor nulo em \mathbf{R}^{2} é (0,0). Como 0\cdot 0=0, temos (0,0)\in\mathbf{W}. Portanto a primeira condição (não vazio / contém o zero) é satisfeita.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (demonstração passo a passo):
Pegue um vetor arbitrário v\in\mathbf{W}. Pelas possibilidades em \mathbf{W} temos duas situações:
  • Se v=(x,0) com x\in\mathbf{R}, então para qualquer escalar \lambda\in\mathbf{R} temos \lambda v=(\lambda x,0). O produto das coordenadas é (\lambda x)\cdot 0=0, logo \lambda v\in\mathbf{W}.
  • Se v=(0,y) com y\in\mathbf{R}, então \lambda v=(0,\lambda y) e 0\cdot(\lambda y)=0, logo \lambda v\in\mathbf{W}.
    No caso v=(0,0) também vale trivialmente. Assim, para qualquer v\in\mathbf{W} e qualquer \lambda\in\mathbf{R} temos \lambda v\in\mathbf{W}. Portanto \mathbf{W} é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Verificar fechamento por soma — tentar provar ou achar contraexemplo:
Para concluir se \mathbf{W} é subespaço precisamos também que a soma de dois vetores arbitrários de \mathbf{W} pertença a \mathbf{W}. Em vez de tentar fazer uma prova geral, é mais eficiente procurar um contraexemplo simples (se existir, mostra que não é subespaço).
Considere os vetores (1,0) e (0,1).
Ambos satisfazem a condição do enunciado:
1\cdot 0=0\quad\Rightarrow\quad (1,0)\in\mathbf{W},
0\cdot 1=0\quad\Rightarrow\quad (0,1)\in\mathbf{W}.
Somando-os:
(1,0)+(0,1)=(1,1).
Verificamos se (1,1)\in\mathbf{W} calculando o produto das coordenadas:
1\cdot 1=1\neq 0.
Logo (1,1)\notin\mathbf{W}. Portanto \mathbf{W} não é fechado por soma.

Passo 7

Conclusão e interpretação didática:
Encontramos dois vetores de \mathbf{W} cuja soma não pertence a \mathbf{W}. Isso já basta para afirmar que \mathbf{W} não é subespaço vetorial de \mathbf{R}^{2}, porque viola a condição de fechamento por adição. Intuitivamente: \mathbf{W} é a união de duas retas que passam pela origem (o eixo x e o eixo y); a união de dois subespaços só é subespaço se um estiver contido no outro (o que não é o caso aqui).

Resposta

Não — \mathbf{W} não é subespaço vetorial de \mathbf{R}^{2}.

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