Dada la siguiente matriz \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 3 & 4 & 0\end{array}\right], se pide:
a) Hallar los cofactores C_{13}, C_{22} y C_{32}.
b) Calcular el determinante desarrollando por la primera fila.
c) Calcular el determinante desarrollando por la tercer columna.
d) Calcule el determinante por Sarrus.

Passo 1

Datos dados: la matriz
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & 3 \\[4pt] 3 & 4 & 0\end{pmatrix}.
Preguntas del enunciado:
a) Hallar los cofactores C_{13}, C_{22} y C_{32}.
b) Calcular el determinante desarrollando por la primera fila.
c) Calcular el determinante desarrollando por la tercera columna.
d) Calcule el determinante por Sarrus.]

Passo 2

¿Qué es un menor y qué es un cofactor? Explicación breve:
  • El menor M_{ij} es el determinante de la matriz que queda al suprimir la fila i y la columna j de \mathbf{A}.
  • El cofactor C_{ij} se obtiene cambiando el signo del menor según la regla de los signos en “ajedrez”:
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Esto significa que si i+j es par el signo es +, y si es impar el signo es -.

Passo 3

Calculemos C_{13}. Primero el menor M_{13}: suprimimos la fila 1 y la columna 3. La submatriz es
\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
El determinante de una 2\times2 matriz \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} es ad-bc. Aplicando:
M_{13} = 0\cdot 4 - 1\cdot 3 = -3.
Ahora el cofactor:
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=(-1)^{4}(-3)=1\cdot(-3)=-3.]

Passo 4

Calculemos C_{22}. Primero el menor M_{22}: suprimimos fila 2 y columna 2. La submatriz es
\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
Determinante:
M_{22}=(-1)\cdot 0 - 2\cdot 3 = -6.
Cofactor:
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=(-1)^{4}(-6)=1\cdot(-6)=-6.]

Passo 5

Calculemos C_{32}. Primero el menor M_{32}: suprimimos fila 3 y columna 2. La submatriz es
\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Determinante:
M_{32}=(-1)\cdot 3 - 2\cdot 0 = -3.
Cofactor:
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=(-1)^{5}(-3)=-1\cdot(-3)=3.]

Passo 6

Resumen parcial (útil para las expansiones): tenemos
C_{13}=-3,\quad C_{22}=-6,\quad C_{32}=3.
Además, puede ser útil calcular otros cofactores si los necesitamos (más abajo calcularemos los que hagan falta para las expansiones).

Passo 7

Regla de desarrollo por una fila (o columna): si expandimos por la fila i,
\det(\mathbf{A})=\sum_{j=1}^{3} a_{ij} C_{ij},
donde a_{ij} son los elementos de la fila i. Para la primera fila ( i=1) los elementos son a_{11}=-1, a_{12}=0, a_{13}=2.

Passo 8

Necesitamos C_{11} y C_{12} para completar la expansión por la primera fila. Calculémoslos rápido:
Para C_{11}: menor M_{11} suprime fila 1 y columna 1, submatriz
\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 4 & 0\end{pmatrix},
M_{11}=1\cdot 0 - 3\cdot 4 = -12,
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(-1)^{2}(-12)=1\cdot(-12)=-12.
Para C_{12}: menor M_{12} suprime fila 1 y columna 2, submatriz
\begin{pmatrix}0 & 3 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix},
M_{12}=0\cdot 0 - 3\cdot 3 = -9,
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=(-1)^{3}(-9)=-1\cdot(-9)=9.]

Passo 9

Ahora expandimos por la primera fila:
\det(\mathbf{A}) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}.
Sustituyendo los valores:
\det(\mathbf{A}) = (-1)\cdot(-12) + 0\cdot 9 + 2\cdot(-3) = 12 + 0 -6 = 6.

Passo 10

Desarrollo por la tercera columna (comprobación): la fórmula para expandir por la columna j es análoga:
\det(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^{3} a_{ij} C_{ij}.
Para la tercera columna ( j=3) los elementos son a_{13}=2, a_{23}=3, a_{33}=0. Ya conocemos C_{13}=-3. Necesitamos C_{23} y C_{33}.

Passo 11

Calculemos C_{23} y C_{33}:
Para C_{23} (suprimir fila 2 columna 3): submatriz
\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},
M_{23}=(-1)\cdot 4 - 0\cdot 3 = -4,
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=(-1)^{5}(-4)=-1\cdot(-4)=4.
Para C_{33} (suprimir fila 3 columna 3): submatriz
\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
M_{33}=(-1)\cdot 1 - 0\cdot 0 = -1,
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=(-1)^{6}(-1)=1\cdot(-1)=-1.]

Passo 12

Expandiendo por la tercera columna:
\det(\mathbf{A}) = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33} = 2\cdot(-3) + 3\cdot 4 + 0\cdot(-1) = -6 + 12 + 0 = 6.
Coincide con el resultado anterior (debiera coincidir siempre).

Passo 13

Regla de Sarrus para matrices 3\times 3: si
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix},
entonces
\det(\mathbf{A}) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}).
Aplicamos Sarrus a nuestra matriz (copiando mentalmente las dos primeras columnas a la derecha):
Calculemos las dos sumas:
  • Suma directa:
a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} = (-1)\cdot 1 \cdot 0 + 0\cdot 3\cdot 3 + 2\cdot 0 \cdot 4 = 0.
  • Suma cruzada:
a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33} = 2\cdot 1\cdot 3 + (-1)\cdot 3\cdot 4 + 0\cdot 0 \cdot 0 = 6 -12 + 0 = -6.
Por Sarrus:
\det(\mathbf{A}) = 0 - (-6) = 6.]

Resposta

a) C_{13}=-3,\; C_{22}=-6,\; C_{32}=3
b) \det(\mathbf{A})=6
c) \det(\mathbf{A})=6
d) \det(\mathbf{A})=6

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