Dada la siguiente matriz \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 0\end{array}\right], analizar si es inversible y de serlo hallar su inversa.

Passo 1

Se nos da la matriz
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\[4pt] 2 & 1 & 1 \\[4pt] 3 & 1 & 0\end{pmatrix}
y se nos pide: (1) analizar si \mathbf{A} es inversible; (2) si lo es, hallar \mathbf{A}^{-1}.
Datos relevantes: los tres renglones y columnas de \mathbf{A} están indicados arriba; no hay ninguna otra condición ni parámetro. No se pide un método concreto, así que primero comprobamos invertibilidad calculando el determinante y luego, si es invertible, hallamos la inversa.]

Passo 2

Cómo voy a decidir si \mathbf{A} es inversible: para matrices cuadradas pequeñas (3×3) basta calcular el determinante. Si \det(\mathbf{A})\neq 0, la matriz es inversible; si \det(\mathbf{A})=0, no lo es. El determinante de una matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
se puede calcular por expansión por la primera fila como
\det = a_{11}\,C_{11} + a_{12}\,C_{12} + a_{13}\,C_{13},
donde C_{1j}=(-1)^{1+j} veces el menor correspondiente (determinante de la submatriz que queda eliminando la fila 1 y la columna j). Esto lo aplico a \mathbf{A}.]

Passo 3

Calculo \det(\mathbf{A}) por expansión a lo largo de la primera fila. Los elementos de la primera fila son a_{11}=-1, a_{12}=0, a_{13}=2. Entonces
\det(\mathbf{A}) = (-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + 0\cdot(\cdots) + 2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Calculo los menores: \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Y \det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot 3 = -1. Sustituyo:
\det(\mathbf{A}) = (-1)\cdot(-1) + 2\cdot(-1) = 1 - 2 = -1.]

Passo 4

Como \det(\mathbf{A})=-1\neq 0, concluimos que \mathbf{A} es inversible. Ahora debemos hallar \mathbf{A}^{-1}. Método elegido: eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz aumentada [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]. Razón: es un método sistemático que produce \mathbf{I} en la izquierda y \mathbf{A}^{-1} en la derecha; es práctico a mano para 3\times3.

Passo 5

Escribo la matriz aumentada inicial [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Primero obtengo un 1 en la primera posición pivote: multiplico la fila 1 por -1:
R_1\leftarrow -R_1 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Elimino las entradas debajo del pivote en la columna 1. Uso operaciones por filas:
  • R_2\leftarrow R_2 - 2R_1. Calculo cada componente:
    izquierda: (2,1,1) -2(1,0,-2) = (0,1,5).
    derecha: (0,1,0) -2(-1,0,0) = (0+2,\,1-0,\,0-0) = (2,1,0).
    Resultado en R_2: (0,1,5 \mid 2,1,0).
  • R_3\leftarrow R_3 - 3R_1. Calculo:
    izquierda: (3,1,0) -3(1,0,-2) = (0,1,6).
    direita: (0,0,1) -3(-1,0,0) = (0+3,\,0-0,\,1-0)=(3,0,1).
    Resultado en R_3: (0,1,6 \mid 3,0,1).
La matriz aumentada queda
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 6 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Elimino la entrada en la fila 3, columna 2 (hacer cero la segunda entrada de R_3) restando R_2 de R_3:
R_3\leftarrow R_3 - R_2:
izquierda: (0,1,6)-(0,1,5)=(0,0,1).
derecha: (3,0,1)-(2,1,0)=(1,-1,1).
Ahora la matriz es
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Con la tercera fila ya con pivote 1 en la columna 3, elimino las entradas sobre ese pivote para conseguir la identidad a la izquierda:
  • Para R_1 (tiene -2 en la columna 3): hago R_1\leftarrow R_1 + 2R_3.
    izquierda: (1,0,-2)+2(0,0,1)=(1,0,0).
    derecha: (-1,0,0)+2(1,-1,1)=(-1+2,\,0-2,\,0+2)=(1,-2,2).
    Resultado R_1: (1,0,0\mid 1,-2,2).
  • Para R_2 (tiene 5 en la columna 3): hago R_2\leftarrow R_2 - 5R_3.
    izquierda: (0,1,5)-5(0,0,1)=(0,1,0).
    derecha: (2,1,0)-5(1,-1,1)=(2-5,\,1+5,\,0-5)=(-3,6,-5).
    Resultado R_2: (0,1,0\mid -3,6,-5).
Tras estas operaciones la matriz aumentada queda
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -3 & 6 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

La parte izquierda es ahora la matriz identidad 3\times3. Por la mecánica del método, la parte derecha es \mathbf{A}^{-1}. Es decir,
\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\[4pt] -3 & 6 & -5\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
(Puedes comprobar rápido multiplicando \mathbf{A} por \mathbf{A}^{-1} y verificando que el resultado sea \mathbf{I}; eso confirma que no hubo errores aritméticos.)]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\[4pt] -3 & 6 & -5\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

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