y se nos pide: (1) analizar si \mathbf{A} es inversible; (2) si lo es, hallar \mathbf{A}^{-1}.
Datos relevantes: los tres renglones y columnas de \mathbf{A} están indicados arriba; no hay ninguna otra condición ni parámetro. No se pide un método concreto, así que primero comprobamos invertibilidad calculando el determinante y luego, si es invertible, hallamos la inversa.]
Passo 2
Cómo voy a decidir si \mathbf{A} es inversible: para matrices cuadradas pequeñas (3×3) basta calcular el determinante. Si \det(\mathbf{A})\neq 0, la matriz es inversible; si \det(\mathbf{A})=0, no lo es. El determinante de una matriz 3\times3
donde C_{1j}=(-1)^{1+j} veces el menor correspondiente (determinante de la submatriz que queda eliminando la fila 1 y la columna j). Esto lo aplico a \mathbf{A}.]
Passo 3
Calculo \det(\mathbf{A}) por expansión a lo largo de la primera fila. Los elementos de la primera fila son a_{11}=-1, a_{12}=0, a_{13}=2. Entonces
Como \det(\mathbf{A})=-1\neq 0, concluimos que \mathbf{A} es inversible. Ahora debemos hallar \mathbf{A}^{-1}. Método elegido: eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz aumentada [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]. Razón: es un método sistemático que produce \mathbf{I} en la izquierda y \mathbf{A}^{-1} en la derecha; es práctico a mano para 3\times3.
Passo 5
Escribo la matriz aumentada inicial [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]:
(Puedes comprobar rápido multiplicando \mathbf{A} por \mathbf{A}^{-1} y verificando que el resultado sea \mathbf{I}; eso confirma que no hubo errores aritméticos.)]