Um decréscimo de 1 \% no volume de um sistema é executado adiabaticamente. Determine a variação no potencial químico em termos de \mathrm{c}_{\mathrm{P}}, \alpha, \mathrm{e} \mathrm{K}_{\mathrm{T}} (e as funções de estado \mathrm{P}, \mathrm{T}, \mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{s}, \mathrm{etc}).

Passo 1

O enunciado dá que um sistema sofre uma redução de 1\% no volume, executada adiabaticamente. O que se pede é a variação do potencial químico \mu causada por esse processo, expressa em termos de c_P, \alpha, K_T e das funções de estado (por exemplo P,T,u,v,s, etc.). Informações recolhidas do enunciado:
  • Processo: adiabático (nenhuma trocação de calor com o ambiente).
  • Variação do volume: \Delta V/V = -0,01 (redução de 1\%).
  • Objetivo: determinar \Delta\mu em função de c_P,\alpha,K_T e grandezas de estado.

Passo 2

Vamos lembrar uma relação fundamental para o potencial químico (ou energia livre molar) num sistema simples de uma só espécie: a diferencial de \mu é dada por
d\mu = -s\,dT + v\,dP,
onde s é a entropia molar e v é o volume molar. Explicando: essa fórmula vem da diferencial da energia livre de Gibbs por mol g=\mu, pois dg = -s\,dT + v\,dP. Aqui cada símbolo significa: s entropia por mol, T temperatura, v volume por mol, P pressão.

Passo 3

Como o processo é dito adiabático, precisamos interpretar se podemos usar ds=0. Um processo adiabático somente implica dQ=0; para que isso dê ds=0 precisamos que o processo seja também reversível (isentrópico). Para obter uma expressão útil e única para a variação de \mu geralmente assume-se um processo adiabático reversível (isentrópico). Vou seguir essa hipótese (se o processo não for reversível, seria necessário conhecer a produção de entropia e a resposta muda). Portanto tomo
ds=0.

Passo 4

Escrevo a diferencial total da entropia em termos de variáveis naturais T,P. Usando as identidades termodinâmicas:
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_P=\frac{c_P}{T},\qquad \left(\frac{\partial s}{\partial P}\right)_T=-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P=-v\alpha,
onde c_P é o calor molar a pressão constante e \alpha é o coeficiente de expansão térmica volumétrico ( \alpha=(1/v)(\partial v/\partial T)_P). Assim a diferencial de s é
ds = \frac{c_P}{T}\,dT - v\alpha\,dP.
Impondo ds=0 (adiabático reversível) obtemos a relação entre dT e dP:
\frac{c_P}{T}\,dT = v\alpha\,dP \qquad\Rightarrow\qquad dT = \frac{T\,v\alpha}{c_P}\,dP.

Passo 5

Queremos eliminar dT e dP e escrever d\mu em função de variação de volume dv (já que o enunciado dá \Delta V/V). Para isso usamos a diferencial total do volume molar v em termos de P e T:
dv = \left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T dP + \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P dT.
As derivadas conhecidas são \left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T = -vK_T (definição de compressibilidade isoterma K_T) e \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P = v\alpha. Então
dv = -vK_T\,dP + v\alpha\,dT.
Substituo dT obtido no Passo 4:
dv = -vK_T\,dP + v\alpha\left(\frac{T\,v\alpha}{c_P}\,dP\right) = v\left[-K_T + \frac{T\,v\alpha^2}{c_P}\right] dP.
Dessa expressão resolvo para dP:
dP = \frac{dv}{v\left[-K_T + \dfrac{T\,v\alpha^2}{c_P}\right]} = \frac{(dv/v)}{-K_T + \dfrac{T\,v\alpha^2}{c_P}}.

Passo 6

Volto à expressão de d\mu do Passo 2 e substituo dT (Passo 4) e dP (Passo 5). Primeiro escrevo d\mu em termos de dP:
d\mu = -s\,dT + v\,dP = -s\left(\frac{T\,v\alpha}{c_P}\,dP\right) + v\,dP = v\left[1 - \frac{sT\alpha}{c_P}\right] dP.
Agora substituo dP em função de dv:
d\mu = v\left[1 - \frac{sT\alpha}{c_P}\right]\cdot \frac{(dv/v)}{-K_T + \dfrac{T\,v\alpha^2}{c_P}} = \left[1 - \frac{sT\alpha}{c_P}\right]\cdot \frac{dv}{-K_T + \dfrac{T\,v\alpha^2}{c_P}}.

Passo 7

Para uma pequena variação finita como a redução de 1\% no volume, aproximamos \Delta\mu\approx d\mu com dv=\Delta v = -0,01\,v. Substituindo:
\Delta\mu \approx \left[1 - \frac{sT\alpha}{c_P}\right]\cdot \frac{-0,01\,v}{-K_T + \dfrac{T\,v\alpha^2}{c_P}}.
Simplificando o sinal (multiplicando numerador e denominador por -1) obtemos uma forma mais direta:
\Delta\mu \approx \frac{0,01\,v\left(1 - \dfrac{sT\alpha}{c_P}\right)} {K_T - \dfrac{T\,v\alpha^2}{c_P}}.

Resposta

\Delta\mu \approx \frac{0,01\,v\Bigl(1 - \dfrac{sT\alpha}{c_P}\Bigr)} {K_T - \dfrac{T\,v\alpha^2}{c_P}}.

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