A seguir, considere C_{V}-5 e C_{P}=7(\mathrm{Btu})(\mathrm{lb} \mathrm{mol})^{-1}\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right)^{-1} para o nitrogênio gasoso:
Quatro libra-moles de nitrogênio a 400\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right) estão no interior de um dispositivo êmbolo/cilindro. Que quantidade de calor deve ser extraída desse sistema, que é mantido a pressão constante, para resfriálo até 150\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right), se a capacidade calorífica do êmbolo/cilindro for desprezível?

Passo 1

O enunciado pede: calcular a quantidade de calor que deve ser extraída do gás nitrogênio quando ele é resfriado, a pressão constante, de 400^\circ\mathrm{F} até 150^\circ\mathrm{F}, sabendo que a capacidade térmica do êmbolo/cilindro é desprezível.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • número de molares: n=4 (unidade: \mathrm{lb\cdot mol});
  • temperatura inicial: T_1=400^\circ\mathrm{F};
  • temperatura final: T_2=150^\circ\mathrm{F};
  • capacidade calorífica molar a volume constante: C_V=5 \mathrm{Btu}\,(\mathrm{lb\cdot mol})^{-1}\,{}^\circ\mathrm{F}^{-1} (o enunciado escreveu C_{V}-5, interpretei como C_V=5);
  • capacidade calorífica molar a pressão constante: C_P=7 \mathrm{Btu}\,(\mathrm{lb\cdot mol})^{-1}\,{}^\circ\mathrm{F}^{-1};
  • processo: pressão constante (isobárico);
  • capacidade térmica do êmbolo/cilindro desprezível (logo todo o calor trocado entra/saí do gás).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): a capacidade calorífica molar a pressão constante C_P indica quanto de calor, por mol, é necessário para elevar a temperatura em uma unidade, mantendo a pressão fixa. Formalmente, para um processo isobárico infinitesimal:
\delta Q = n\,C_P\,dT,
onde
  • \delta Q é o calor trocado (positivo se entra no sistema, negativo se sai);
  • n é o número de mols (aqui \mathrm{lb\cdot mol});
  • C_P é a capacidade calorífica molar a pressão constante;
  • dT é a variação infinitesimal de temperatura.
Essa fórmula vem da definição de capacidade calorífica molar a pressão constante. Como a pressão é constante, todo o calor trocado associado à variação de temperatura é dado por nC_P\Delta T ao integrar entre as temperaturas inicial e final.
Observação prática para a prova: use sempre C_P em processos isobáricos (não use C_V). Verifique unidades para garantir que o produto dê energia (aqui Btu).

Passo 3

Aplicando a relação ao percurso finito entre T_1 e T_2, o calor trocado é
Q = n\,C_P\,(T_2-T_1).
Explicando cada termo:
  • Q é o calor líquido trocado pelo gás durante o processo (unidade: \mathrm{Btu});
  • n está em \mathrm{lb\cdot mol};
  • C_P está em \mathrm{Btu}\,(\mathrm{lb\cdot mol})^{-1}\,{}^\circ\mathrm{F}^{-1};
  • (T_2-T_1) em {}^\circ\mathrm{F}.
    O produto dessas unidades resulta em \mathrm{Btu}, como esperado.

Passo 4

Calcule a variação de temperatura:
\Delta T = T_2-T_1 = 150^\circ\mathrm{F}-400^\circ\mathrm{F} = -250^\circ\mathrm{F}.
O sinal negativo indica que a temperatura diminuiu (resfriamento).

Passo 5

Substituindo os números na expressão de Q:
Q = n\,C_P\,\Delta T = 4 \times 7 \times (-250).
Faça em duas etapas para ficar claro na mão (ou na prova sem calculadora):
4\times 7 = 28,
28\times 250 = 28\times(25\times10)=700\times10=7000.
Portanto
Q = -7000\\ \mathrm{Btu}.

Passo 6

Interpretação física e convenção de sinal:
  • O valor negativo Q=-7000\\ \mathrm{Btu} significa que 7000\\ \mathrm{Btu} de calor foram removidos do gás (isto é, extraídos).
  • Como o enunciado pergunta “Que quantidade de calor deve ser extraída”, a resposta em magnitude é 7000\\ \mathrm{Btu}.
  • A hipótese de que o êmbolo/cilindro tem capacidade térmica desprezível garante que não houve armazenamento de calor significativo fora do gás, então todo o calor extraído vem do gás.
Dica rápida para prova: sempre verifique se o processo é isobárico; se for, use C_P. Cheque sinais (queda de T → Q negativo → calor extraído). Verifique unidades para garantir consistência.

Resposta

7000\\ \mathrm{Btu}

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