Deduza as equaçoes para a entropia, assumindo N constante. a é o coeficiente de expansão térmica e KT é a compressibilidde isotérmica. cp e cV sao as capacidades térmicas molares.
T d S=N cV d T+(T a / KT) d V
TdS = N cpdT - TVadP

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de termodinâmica onde precisa deduzir as equações para a entropia $ S $, assumindo que o número de partículas $ N $ é constante. Vamos usar alguns conceitos importantes como o coeficiente de expansão térmica $ a $, a compressibilidade isotérmica $ K_{\mathrm{T}} $, e as capacidades térmicas molares $ c_p $ e $ c_V $. Nosso objetivo é chegar nas duas equações que relacionam $ TdS $ com $ dT $, $ dV $, e $ dP $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a entropia $ S $ é uma função de estado que depende da temperatura $ T $ e do volume $ V $. Na termodinâmica, a variação da entropia pode ser expressa por:
S
Multiplicando ambos os lados por $ T $, temos:
T

Passo 3

Agora, vamos relacionar as derivadas parciais com as capacidades térmicas $ c_V $ e $ c_p $. Sabemos que a capacidade calorífica a volume constante é definida por:
cV
Substituindo isso na equação anterior, ficamos com:
cp
Aqui, incluímos o fator $ N $ para considerar que temos $ N $ partículas no sistema.

Passo 4

Nos resta agora descobrir a expressão para $ \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T $. Para isso, vamos usar algumas relações termodinâmicas. Sabemos que o coeficiente de expansão térmica $ a $ é dado por:
( partial Spartial V )T
E a compressibilidade isotérmica $ K_T $ é:
a
Vamos também lembrar da relação Maxwell, que conecta derivadas cruzadas de funções termodinâmicas.

Passo 5

Utilizando a relação de Maxwell para entropia, temos:
( partial Spartial V )T = ( partial Ppartial T )V
Sabendo que $ a = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P $, podemos rearranjar para:
a = 1V ( partial Vpartial T )P
Mas para simplificar, consideramos que $ P $ está relacionado com as demais grandezas pelo coeficiente de expansão e compressibilidade.

Passo 6

Substituindo $ \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T $ na equação do Passo 3, temos:
( partial Spartial V )T
Essa é a primeira equação que precisávamos deduzir.

Passo 7

Agora, vamos deduzir a segunda equação $ TdS = N c_p dT - T V a dP $. Para isso, usamos a capacidade calorífica a pressão constante $ c_p $, definida por:
TdS = N cp dT - T V a dP
Além disso, usamos a relação de Gibbs para a variação de entropia em função de $ T $ e $ P $:
cp
Multiplicando por $ T $:
cp = cV + T V a^2KT

Passo 8

Sabendo que:
( partial Spartial T )P = cpT
E utilizando a relação termodinâmica para $ \left( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T $:
( partial Spartial P )T
Substituindo essas expressões na equação do Passo 7:
( partial Spartial P )T = -V aKT

Resposta

Assim, deduzimos as duas equações para a entropia $ S $, assumindo $ N $ constante:
S
N

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