Deduza as equaçoes para a entropia, assumindo N constante. a é o coeficiente de expansão térmica e
é a compressibilidde isotérmica.
e
sao as capacidades térmicas molares.
TdS = N cpdT - TVadP
TdS = N cpdT - TVadP
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de termodinâmica onde precisa deduzir as equações para a entropia $ S $, assumindo que o número de partículas $ N $ é constante. Vamos usar alguns conceitos importantes como o coeficiente de expansão térmica $ a $, a compressibilidade isotérmica $ K_{\mathrm{T}} $, e as capacidades térmicas molares $ c_p $ e $ c_V $. Nosso objetivo é chegar nas duas equações que relacionam $ TdS $ com $ dT $, $ dV $, e $ dP $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a entropia $ S $ é uma função de estado que depende da temperatura $ T $ e do volume $ V $. Na termodinâmica, a variação da entropia pode ser expressa por:
Multiplicando ambos os lados por $ T $, temos:
Passo 3
Agora, vamos relacionar as derivadas parciais com as capacidades térmicas $ c_V $ e $ c_p $. Sabemos que a capacidade calorífica a volume constante é definida por:
Substituindo isso na equação anterior, ficamos com:
Aqui, incluímos o fator $ N $ para considerar que temos $ N $ partículas no sistema.
Passo 4
Nos resta agora descobrir a expressão para $ \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T $. Para isso, vamos usar algumas relações termodinâmicas. Sabemos que o coeficiente de expansão térmica $ a $ é dado por:
E a compressibilidade isotérmica $ K_T $ é:
Vamos também lembrar da relação Maxwell, que conecta derivadas cruzadas de funções termodinâmicas.
Passo 5
Utilizando a relação de Maxwell para entropia, temos:
Sabendo que $ a = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P $, podemos rearranjar para:
Mas para simplificar, consideramos que $ P $ está relacionado com as demais grandezas pelo coeficiente de expansão e compressibilidade.
Passo 6
Substituindo $ \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T $ na equação do Passo 3, temos:
Essa é a primeira equação que precisávamos deduzir.
Passo 7
Agora, vamos deduzir a segunda equação $ TdS = N c_p dT - T V a dP $. Para isso, usamos a capacidade calorífica a pressão constante $ c_p $, definida por:
Além disso, usamos a relação de Gibbs para a variação de entropia em função de $ T $ e $ P $:
Multiplicando por $ T $:
Passo 8
Sabendo que:
E utilizando a relação termodinâmica para $ \left( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T $:
Substituindo essas expressões na equação do Passo 7:
Resposta
Assim, deduzimos as duas equações para a entropia $ S $, assumindo $ N $ constante: