N moles de um gás ideal monatômico devem ser empregados como o sistema auxiliar em um ciclo de Carnot.
O gás ideal inicialmente não entra em contato com o reservatório quente, e na primeira etapa do ciclo é expandido do volume Va para o volume Vb. Calcule o trabalho e as transferências de calor em cada uma das quatro etapas do ciclo. Compare com a eficiência do ciclo de Carnot.
O gás ideal inicialmente não entra em contato com o reservatório quente, e na primeira etapa do ciclo é expandido do volume Va para o volume Vb. Calcule o trabalho e as transferências de calor em cada uma das quatro etapas do ciclo. Compare com a eficiência do ciclo de Carnot.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Basicamente, temos um ciclo de Carnot usando um gás ideal monatomico com N moles. O ciclo tem quatro etapas: duas isotérmicas e duas adiabáticas. Precisamos calcular o trabalho e as transferências de calor em cada etapa e depois comparar com a eficiência do ciclo de Carnot. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica como processos isotérmicos, adiabáticos, trabalho realizado e calor trocado.
Passo 2
Primeira Etapa: Expansão Isotérmica (Va → Vb)
Como o gás está inicialmente sem contato com o reservatório quente e está se expandindo isotermicamente, a temperatura permanece constante. Para processos isotérmicos de um gás ideal, o trabalho realizado é dado por:
E o calor trocado é igual ao trabalho realizado porque, em processo isotérmico, a variação de energia interna é zero:
Teoria Aplicada:
- Processo Isotérmico: Temperatura constante,
. - Gás Ideal:
.
Passo 3
Segunda Etapa: Expansão Adiabática (Vb → Vc)
Na expansão adiabática, não há troca de calor com o ambiente (
). O trabalho realizado pelo gás é:
Para um gás ideal monatomico,
, então:
Teoria Aplicada:
- Processo Adiabático:
. - Relação de Temperatura e Volume:
, onde .
Passo 4
Terceira Etapa: Compressão Isotérmica (Vc → Vd)
Agora o gás está em contato com o reservatório quente a temperatura
(igual a
no ciclo de Carnot). O trabalho realizado sobre o gás é:
O calor trocado é:
Teoria Aplicada:
- Processo Isotérmico: Temperatura constante.
- Trabalho em Compressão: Trabalho negativo indica trabalho feito sobre o sistema.
Passo 5
Quarta Etapa: Compressão Adiabática (Vd → Va)
Na compressão adiabática, novamente não há troca de calor (
). O trabalho realizado sobre o gás é:
Substituindo
:
Teoria Aplicada:
- Processo Adiabático: Sem troca de calor.
- Relação entre Térmicas: Usamos a relação adiabática para ligar temperaturas e volumes.
Passo 6
Eficiência do Ciclo de Carnot
A eficiência (
) do ciclo de Carnot é dada pela relação entre as temperaturas dos reservatórios quente (
) e frio (
):
No nosso caso, supondo que
e
, temos:
Resposta
Calculamos o trabalho e as transferências de calor em cada uma das quatro etapas do ciclo de Carnot:
-
Expansão Isotérmica (Va → Vb):
-
Expansão Adiabática (Vb → Vc):
-
Compressão Isotérmica (Vc → Vd):
-
Compressão Adiabática (Vd → Va):
A eficiência do ciclo de Carnot é: