N moles de um gás ideal monatômico devem ser empregados como o sistema auxiliar em um ciclo de Carnot.
O gás ideal inicialmente não entra em contato com o reservatório quente, e na primeira etapa do ciclo é expandido do volume Va para o volume Vb. Calcule o trabalho e as transferências de calor em cada uma das quatro etapas do ciclo. Compare com a eficiência do ciclo de Carnot.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Basicamente, temos um ciclo de Carnot usando um gás ideal monatomico com N moles. O ciclo tem quatro etapas: duas isotérmicas e duas adiabáticas. Precisamos calcular o trabalho e as transferências de calor em cada etapa e depois comparar com a eficiência do ciclo de Carnot. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica como processos isotérmicos, adiabáticos, trabalho realizado e calor trocado.

Passo 2

Primeira Etapa: Expansão Isotérmica (Va → Vb)
Como o gás está inicialmente sem contato com o reservatório quente e está se expandindo isotermicamente, a temperatura permanece constante. Para processos isotérmicos de um gás ideal, o trabalho realizado é dado por:
W1 = nRT1 ln(VbVa)
E o calor trocado é igual ao trabalho realizado porque, em processo isotérmico, a variação de energia interna é zero:
Q1 = W1 = nRT1 ln(VbVa)
Teoria Aplicada:
  • Processo Isotérmico: Temperatura constante, De.
  • Gás Ideal: PV = nRT.

Passo 3

Segunda Etapa: Expansão Adiabática (Vb → Vc)
Na expansão adiabática, não há troca de calor com o ambiente ( Q = 0). O trabalho realizado pelo gás é:
W2 = CVCV - R ( T2 - T3 )
Para um gás ideal monatomico, CV = 32R, então:
W2 = 32R ( T2 - T3 )
Teoria Aplicada:
  • Processo Adiabático: Q = 0.
  • Relação de Temperatura e Volume: TV^gamma - 1 = constante, onde gamma = CPCV = 53.

Passo 4

Terceira Etapa: Compressão Isotérmica (Vc → Vd)
Agora o gás está em contato com o reservatório quente a temperatura T4 (igual a T1 no ciclo de Carnot). O trabalho realizado sobre o gás é:
W3 = -nRT4 ln(VdVc)
O calor trocado é:
Q3 = W3 = -nRT4 ln(VdVc)
Teoria Aplicada:
  • Processo Isotérmico: Temperatura constante.
  • Trabalho em Compressão: Trabalho negativo indica trabalho feito sobre o sistema.

Passo 5

Quarta Etapa: Compressão Adiabática (Vd → Va)
Na compressão adiabática, novamente não há troca de calor ( Q = 0). O trabalho realizado sobre o gás é:
W4 = CVCV - R ( T4 - T1 )
Substituindo CV = 32R:
W4 = 32R ( T4 - T1 )
Teoria Aplicada:
  • Processo Adiabático: Sem troca de calor.
  • Relação entre Térmicas: Usamos a relação adiabática para ligar temperaturas e volumes.

Passo 6

Eficiência do Ciclo de Carnot
A eficiência ( eta) do ciclo de Carnot é dada pela relação entre as temperaturas dos reservatórios quente ( Tquente) e frio ( Tfrio):
eta = 1 - TfrioTquente
No nosso caso, supondo que Tquente = T4 e Tfrio = T1, temos:
eta = 1 - T1T4

Resposta

Calculamos o trabalho e as transferências de calor em cada uma das quatro etapas do ciclo de Carnot:
  1. Expansão Isotérmica (Va → Vb):
    W1 = Q1 = nRT1 ln(VbVa)
  2. Expansão Adiabática (Vb → Vc):
    W2 = 32R ( T2 - T3 )
    Q2 = 0
  3. Compressão Isotérmica (Vc → Vd):
    W3 = -nRT4 ln(VdVc)
    Q3 = W3
  4. Compressão Adiabática (Vd → Va):
    W4 = 32R ( T4 - T1 )
    Q4 = 0
A eficiência do ciclo de Carnot é:
eta = 1 - T1T4

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