Expresse o módulo de compressibilidade adiabática
em termos de
e a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expressarmos o módulo de compressibilidade adiabática, que chamamos de
, em termos das capacidades térmicas à pressão constante (
), à volume constante (
) e de outro parâmetro que provavelmente é o coeficiente de expansão térmica, geralmente representado por
. Para isso, vamos precisar entender algumas relações da termodinâmica envolvendo essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o módulo de compressibilidade adiabática (
) é o inverso do módulo de compressibilidade adiabática (
), ou seja:
O que precisamos encontrar é uma expressão para
em termos de
,
e
.
Passo 3
Sabemos que a relação entre as capacidades térmicas
e
é dada pelo calor específico molar à pressão constante menos o calor específico molar à volume constante:
onde
é a temperatura,
é o coeficiente de expansão térmica,
é o módulo de compressibilidade isoterma e
é o volume.
Passo 4
Também sabemos que a relação entre o módulo de compressibilidade isoterma (
) e o módulo de compressibilidade adiabática (
) é:
onde
, que é a razão entre as capacidades térmicas.
Passo 5
Vamos reorganizar essa última equação para isolar
:
Mas queremos expressar
em termos de
e
, então vamos substituir
:
Passo 6
Simplificando a fração dentro dos parênteses:
Agora, substituímos de volta na equação de
:
Passo 7
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 8
Agora, queremos isolar
. Para isso, vamos reorganizar a equação:
Como
, essa equação se torna quadrática em
. No entanto, para simplificar, podemos assumir que as mudanças são pequenas, e assim termos de ordem superior podem ser desprezados, resultando em:
Resposta
O módulo de compressibilidade adiabática
em termos de
,
e
é aproximadamente: