Expresse o módulo de compressibilidade adiabática beta em termos de cp, cv e a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expressarmos o módulo de compressibilidade adiabática, que chamamos de beta, em termos das capacidades térmicas à pressão constante ( cp), à volume constante ( cv) e de outro parâmetro que provavelmente é o coeficiente de expansão térmica, geralmente representado por alpha. Para isso, vamos precisar entender algumas relações da termodinâmica envolvendo essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo de compressibilidade adiabática ( beta) é o inverso do módulo de compressibilidade adiabática ( KS), ou seja:
beta = 1KS
O que precisamos encontrar é uma expressão para KS em termos de cp, cv e alpha.

Passo 3

Sabemos que a relação entre as capacidades térmicas cp e cv é dada pelo calor específico molar à pressão constante menos o calor específico molar à volume constante:
cp - cv = T alpha^2 KT V
onde T é a temperatura, alpha é o coeficiente de expansão térmica, KT é o módulo de compressibilidade isoterma e V é o volume.

Passo 4

Também sabemos que a relação entre o módulo de compressibilidade isoterma ( KT) e o módulo de compressibilidade adiabática ( KS) é:
KS = KT (1 + gamma - 1gamma T alpha^2 V KT)
onde gamma = cpcv, que é a razão entre as capacidades térmicas.

Passo 5

Vamos reorganizar essa última equação para isolar KS:
KS = KT (1 + gamma - 1gamma T alpha^2 V KT)
Mas queremos expressar KS em termos de cp e cv, então vamos substituir gamma = cpcv:
KS = KT (1 + cpcv - 1cpcv T alpha^2 V KT)

Passo 6

Simplificando a fração dentro dos parênteses:
cpcv - 1cpcv = cp - cvcp
Agora, substituímos de volta na equação de KS:
KS = KT (1 + cp - cvcp T alpha^2 V KT)

Passo 7

Sabemos que KT = 1beta, então substituímos:
KS = 1beta (1 + cp - cvcp T alpha^2 V 1beta)

Passo 8

Agora, queremos isolar beta. Para isso, vamos reorganizar a equação:
KS = 1beta + cp - cvcp T alpha^2 V 1beta^2
Como beta = 1KS, essa equação se torna quadrática em beta. No entanto, para simplificar, podemos assumir que as mudanças são pequenas, e assim termos de ordem superior podem ser desprezados, resultando em:
beta approx cvcp 1T alpha^2 V

Resposta

O módulo de compressibilidade adiabática beta em termos de cp, cv e alpha é aproximadamente:
beta approx cvcp cdot 1T alpha^2 V

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