Deduza a expressão de ponte completa de Wheatstone.
Passo 1
O enunciado pede que eu deduza a expressão da ponte completa de Wheatstone. Isto significa: encontrar a tensão de saída entre os dois pontos médios da ponte (chamados aqui de
e
) em função da tensão de alimentação e das quatro resistências da ponte. As informações que vamos usar (padrão da ponte de Wheatstone) são:
- Quatro resistores formando um quadrilátero: resistores
e no ramo esquerdo (em série entre o terminal superior positivo da fonte e o terminal inferior), e resistores e no ramo direito (em série entre o mesmo terminal superior e o mesmo terminal inferior). - A tensão de alimentação é
aplicada entre o ponto superior (polo positivo) e o ponto inferior (polo negativo/terra) da ponte. - O ponto
é o nó entre e ; o ponto é o nó entre e . - Queremos a tensão de saída
(diferença de potencial entre e ) em função de , , , e .
Passo 2
Vamos lembrar e entender um conceito crucial: divisor de tensão. Se eu tenho dois resistores em série
(em cima) e
(embaixo) alimentados por uma tensão
entre o nó superior e o inferior, então a tensão no nó entre eles (medida em relação ao nó inferior) é dada por:
Explicando de modo bem direto: a corrente que passa pela série é
. A queda de tensão sobre
(do meio para o terminal inferior) é
. Como a referência inferior é zero, o potencial do nó do meio é exatamente
. Esse é o resultado que vou aplicar duas vezes (uma em cada ramo da ponte).
Passo 3
Aplique o divisor de tensão ao ramo esquerdo (
em cima e
em baixo). A tensão no nó
(em relação ao terminal inferior) é:
Expliquei acima por que a fração
aparece: é porque a tensão do meio é a queda sobre o resistor inferior
.
Passo 4
Agora aplique o divisor de tensão ao ramo direito (
em cima e
em baixo). A tensão no nó
(em relação ao mesmo terminal inferior) é:
Passo 5
A tensão de saída desejada é a diferença
. Substituindo as expressões de
e
que encontramos:
Fatorando
:
Essa já é uma forma muito útil e direta: mostra a saída como a diferença de dois divisores de tensão.
Passo 6
Vamos manipular algebricamente para obter uma forma única com numerador e denominador comuns, que às vezes é mais conveniente. Tomando os dois termos com denominador comum
:
Agora desenvolvendo os produtos no numerador:
Observe que
aparece com sinal
e com sinal
, então se cancelam. O que sobra é:
Assim temos a forma compacta:
Passo 7
Interprete esse resultado e extraia a condição de equilíbrio (balanceamento) da ponte. A ponte está em equilíbrio quando
. Pela expressão obtida, isso ocorre quando o numerador se anula:
Uma forma equivalente, muitas vezes usada, é dividir ambos os lados por
(assumindo resistências não nulas) para obter:
Essa é a condição clássica de balanceamento da ponte de Wheatstone: as razões dos resistores nos dois ramos são iguais.
Passo 8
Recapitulando as formas úteis que derivamos (são as que você pode escrever na prova):
- Forma direta em termos de divisores:
- Forma com numerador único:
- Condição de equilíbrio: