Deduza a expressão de ponte completa de Wheatstone.

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza a expressão da ponte completa de Wheatstone. Isto significa: encontrar a tensão de saída entre os dois pontos médios da ponte (chamados aqui de A e B) em função da tensão de alimentação e das quatro resistências da ponte. As informações que vamos usar (padrão da ponte de Wheatstone) são:
  • Quatro resistores formando um quadrilátero: resistores R_1 e R_2 no ramo esquerdo (em série entre o terminal superior positivo da fonte e o terminal inferior), e resistores R_3 e R_4 no ramo direito (em série entre o mesmo terminal superior e o mesmo terminal inferior).
  • A tensão de alimentação é \,V_s aplicada entre o ponto superior (polo positivo) e o ponto inferior (polo negativo/terra) da ponte.
  • O ponto A é o nó entre R_1 e R_2; o ponto B é o nó entre R_3 e R_4.
  • Queremos a tensão de saída V_{AB} = V_A - V_B (diferença de potencial entre A e B) em função de V_s, R_1, R_2, R_3 e R_4.

Passo 2

Vamos lembrar e entender um conceito crucial: divisor de tensão. Se eu tenho dois resistores em série R_a (em cima) e R_b (embaixo) alimentados por uma tensão \,V_s entre o nó superior e o inferior, então a tensão no nó entre eles (medida em relação ao nó inferior) é dada por:
V_{\text{meio}} = V_s \cdot \frac{R_b}{R_a + R_b}.
Explicando de modo bem direto: a corrente que passa pela série é I = \dfrac{V_s}{R_a+R_b}. A queda de tensão sobre R_b (do meio para o terminal inferior) é I R_b. Como a referência inferior é zero, o potencial do nó do meio é exatamente I R_b = V_s \dfrac{R_b}{R_a+R_b}. Esse é o resultado que vou aplicar duas vezes (uma em cada ramo da ponte).

Passo 3

Aplique o divisor de tensão ao ramo esquerdo ( R_1 em cima e R_2 em baixo). A tensão no nó A (em relação ao terminal inferior) é:
V_A = V_s \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}.
Expliquei acima por que a fração \dfrac{R_2}{R_1+R_2} aparece: é porque a tensão do meio é a queda sobre o resistor inferior R_2.

Passo 4

Agora aplique o divisor de tensão ao ramo direito ( R_3 em cima e R_4 em baixo). A tensão no nó B (em relação ao mesmo terminal inferior) é:
V_B = V_s \cdot \frac{R_4}{R_3 + R_4}.

Passo 5

A tensão de saída desejada é a diferença V_{AB} = V_A - V_B. Substituindo as expressões de V_A e V_B que encontramos:
V_{AB} = V_s\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2} \;-\; V_s\cdot\frac{R_4}{R_3+R_4}.
Fatorando V_s:
V_{AB} = V_s \left(\frac{R_2}{R_1+R_2} - \frac{R_4}{R_3+R_4}\right).
Essa já é uma forma muito útil e direta: mostra a saída como a diferença de dois divisores de tensão.

Passo 6

Vamos manipular algebricamente para obter uma forma única com numerador e denominador comuns, que às vezes é mais conveniente. Tomando os dois termos com denominador comum (R_1+R_2)(R_3+R_4):
V_{AB} = V_s \cdot \frac{R_2(R_3+R_4) - R_4(R_1+R_2)}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}.
Agora desenvolvendo os produtos no numerador:
R_2(R_3+R_4) - R_4(R_1+R_2) = R_2R_3 + R_2R_4 - R_4R_1 - R_4R_2.
Observe que R_2R_4 aparece com sinal + e com sinal -, então se cancelam. O que sobra é:
R_2R_3 - R_1R_4.
Assim temos a forma compacta:
V_{AB} = V_s \cdot \frac{R_2R_3 - R_1R_4}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}.

Passo 7

Interprete esse resultado e extraia a condição de equilíbrio (balanceamento) da ponte. A ponte está em equilíbrio quando V_{AB}=0. Pela expressão obtida, isso ocorre quando o numerador se anula:
R_2R_3 - R_1R_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad R_1R_4 = R_2R_3.
Uma forma equivalente, muitas vezes usada, é dividir ambos os lados por R_2R_4 (assumindo resistências não nulas) para obter:
\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}.
Essa é a condição clássica de balanceamento da ponte de Wheatstone: as razões dos resistores nos dois ramos são iguais.

Passo 8

Recapitulando as formas úteis que derivamos (são as que você pode escrever na prova):
  • Forma direta em termos de divisores:
V_{AB} = V_s\left(\frac{R_2}{R_1+R_2} - \frac{R_4}{R_3+R_4}\right).
  • Forma com numerador único:
V_{AB} = V_s\cdot\frac{R_2R_3 - R_1R_4}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}.
  • Condição de equilíbrio:
R_1R_4 = R_2R_3 \quad\text{ou}\quad \frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}.

Resposta

V_{AB} = V_s\left(\frac{R_2}{R_1+R_2} - \frac{R_4}{R_3+R_4}\right)
V_{AB} = V_s\cdot\frac{R_2R_3 - R_1R_4}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)} \quad\text{e a condição de equilíbrio é}\quad R_1R_4 = R_2R_3çãíé

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