Deduza a expressão que rege o funcionamento de um sensor de pressão diferencial capacitivo.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir a expressão que rege o funcionamento de um sensor de pressão diferencial capacitivo — isto é, encontrar a relação entre a diferença de pressão aplicada ao diafragma e a capacitância do sensor (variação de capacitância associada à deflexão do diafragma).\n
Informações e hipóteses que usarei (estou supondo um sensor típico que é o mais comum em provas):\n
  • O sensor é formado por um eletrodo fixo e um diafragma que funciona como o outro eletrodo, formando um capacitor de placas quase paralelas; a região entre as placas é preenchida por ar (ou vácuo) com permissividade \varepsilon_0.\n
  • Área do diafragma (e do eletrodo oposto): A=\pi a^2, com a raio do diafragma.\n
  • Separação de repouso (sem pressão diferencial): d_0 (distância entre placas no centro quando \Delta P=0).\n
  • Aplicando uma diferença de pressão \Delta P o diafragma se deflete para dentro, com perfil de deflexão w(r) (positivo no sentido que diminui a distância entre placas). O deslocamento máximo no centro é w_0.\n
  • Vou assumir regime de pequenas deflexões: w(r)\ll d_0, o que permite linearizar a expressão da capacitância e usar teoria linear de placas (prática comum em sensores capacitivos).\n
    A resolução começará a partir dessas hipóteses.

Passo 2

Fórmula básica do capacitor de placas paralelas e interpretação: a capacitância local (por área infinitesimal) é dada por
dC = \frac{\varepsilon_0\, dA}{\text{separação local}}.çã
Explicando as variáveis: \varepsilon_0 é a permissividade do meio (no ar, aproximamos por \varepsilon_0), dA é um elemento de área, e a separação local entre placas varia com r e é d(r)=d_0 - w(r). A capacitância total é a soma (integral) dessas contribuições sobre a área ativa:
C=\iint_{A}\frac{\varepsilon_0}{d_0-w(r)}\,dA.
Se não houvesse deflexão ( w\equiv0), a capacitância de repouso seria
C_0=\frac{\varepsilon_0 A}{d_0}.

Passo 3

Perfil de deflexão do diafragma (placa circular engastada) e constante flexural: para uma placa circular, engastada na borda e sob carga de pressão uniforme \Delta P, a teoria linear de placas (peça padrão que aparece em provas) dá o perfil
w(r)=w_0\left(1-\left(\frac{r}{a}\right)^2\right)^2,
em que r é a coordenada radial e w_0 é a deflexão máxima no centro. Importante: esta é a forma clássica para uma placa circular elástica engastada nas bordas sob carga uniforme (validação: é uma solução conhecida da equação de placas de Kirchhoff).\n
A deflexão central w_0 em regime linear é proporcional à pressão aplicada e pode ser escrita como
w_0=\frac{\Delta P\,a^4}{64\,D},
onde D é a rigidez flexural da placa, dada por
D=\frac{E h^3}{12(1-\nu^2)}.
Aqui E é o módulo de Young do material do diafragma, h é a espessura do diafragma e \nu é o coeficiente de Poisson. Expliquei o que é cada coisa: D mede a resistência à curvatura do diafragma — quanto maior D, menor a deflexão para uma dada pressão.

Passo 4

Escrever a capacitância total como integral e preparar para aproximar: usando simetria circular, dA=2\pi r\,dr e a capacitância total é
C=\int_{0}^{a}\frac{\varepsilon_0\,2\pi r}{d_0-w(r)}\,dr.
Esta integral é exata, mas difícil de resolver em forma fechada sem aproximação. Como estamos em pequenas deflexões ( w\ll d_0), faz sentido linearizar a fração usando expansão de Taylor.

Passo 5

Linearização para pequenas deflexões (expansão em série): para |w(r)|<d_0 podemos usar
\frac{1}{d_0-w(r)}=\frac{1}{d_0}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{w(r)}{d_0}}\approx \frac{1}{d_0}\left(1+\frac{w(r)}{d_0}+\ldots\right).
Mantemos apenas os termos até ordem linear em w (termo constante + termo linear), porque \dfrac{w}{d_0} é pequeno. Assim,
C \approx \int_{0}^{a}\varepsilon_0 2\pi r\left(\frac{1}{d_0}+\frac{w(r)}{d_0^2}\right)\,dr.
Separe em capacitância de repouso C_0 e variação \Delta C:
C\approx C_0+\Delta C,
com
C_0=\int_{0}^{a}\frac{\varepsilon_0 2\pi r}{d_0}\,dr=\frac{\varepsilon_0 A}{d_0},
e
\Delta C=\int_{0}^{a}\frac{\varepsilon_0 2\pi r\,w(r)}{d_0^2}\,dr = \frac{\varepsilon_0}{d_0^2}\int_{0}^{a}2\pi r\,w(r)\,dr.
Expliquei: \Delta C é a contribuição linear devida à deflexão do diafragma.

Passo 6

Calcular a integral da deflexão sobre a área usando o perfil w(r): substituímos w(r)=w_0\left(1-(r/a)^2\right)^2 na integral.
\int_{0}^{a}2\pi r\,w(r)\,dr = 2\pi w_0 \int_{0}^{a} r\left(1-\left(\frac{r}{a}\right)^2\right)^2 dr.
Troco variável para \rho=r/a, então r=a\rho e dr=a\,d\rho. O limite r=0\to a vira \rho=0\to1. A integral vira
2\pi w_0 a^2 \int_{0}^{1} \rho\left(1-\rho^2\right)^2 d\rho.
Agora calculamos a integral interna explicitamente:
\int_{0}^{1} \rho\left(1-\rho^2\right)^2 d\rho = \int_{0}^{1} (\rho - 2\rho^3 + \rho^5)\,d\rho = \left[\frac{\rho^2}{2}-\frac{2\rho^4}{4}+\frac{\rho^6}{6}\right]_0^1.
Avalia:
\frac{1}{2}-\frac{2}{4}+\frac{1}{6} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.
Portanto
\int_{0}^{a}2\pi r\,w(r)\,dr = 2\pi w_0 a^2\cdot\frac{1}{6} = \frac{\pi a^2 w_0}{3}.
Observe que \pi a^2=A, então este resultado pode ser escrito como
\int_{0}^{a}2\pi r\,w(r)\,dr = \frac{A w_0}{3}.

Passo 7

Expressar \Delta C em função de w_0 e depois em função de \Delta P: usando o resultado anterior,
\Delta C = \frac{\varepsilon_0}{d_0^2}\cdot\frac{A w_0}{3} = \frac{\varepsilon_0 A}{3 d_0^2}\,w_0.
Agora substituímos w_0 pela expressão em função de \Delta P:
w_0=\frac{\Delta P\,a^4}{64\,D}.
Portanto
\Delta C = \frac{\varepsilon_0 A}{3 d_0^2}\cdot\frac{\Delta P\,a^4}{64\,D}.
Simplificando usando A=\pi a^2:
\Delta C = \frac{\varepsilon_0 \pi a^2}{3 d_0^2}\cdot\frac{\Delta P\,a^4}{64\,D} = \frac{\varepsilon_0 \pi a^6}{192\, d_0^2\, D}\,\Delta P,
pois 3\cdot 64=192. Isto mostra que, em regime linear, a variação de capacitância é proporcional à diferença de pressão \Delta P; definimos a sensibilidade (constante de proporcionalidade)
K=\frac{\varepsilon_0 \pi a^6}{192\, d_0^2\, D} \quad\text{tal que}\quad \Delta C = K\,\Delta P.

Passo 8

Juntar tudo e escrever a expressão final e as condições de validade: a capacitância total aproximada é
C \approx C_0 + \Delta C
com
C_0=\frac{\varepsilon_0 A}{d_0}=\frac{\varepsilon_0 \pi a^2}{d_0} \quad\text{e}\quad \Delta C = \frac{\varepsilon_0 \pi a^6}{192\, d_0^2\, D}\,\Delta P,
onde
D=\frac{E h^3}{12(1-\nu^2)}.
Condições de validade (muito importantes para prova e projeto): a dedução vale para pequenas deflexões ( w_0\ll d_0) e para comportamento elástico linear do diafragma; para deflexões grandes há termos não lineares e a relação deixa de ser estritamente linear. Também assumimos que o campo entre placas é uniforme lateralmente (efeitos de borda desprezados) e que o dielétrico é homogêneo com permissividade \varepsilon_0.

Resposta

C \approx \frac{\varepsilon_0 \pi a^2}{d_0} \;+\; \frac{\varepsilon_0 \pi a^6}{192\, d_0^2\, D}\,\Delta P
com
D=\frac{E h^3}{12(1-\nu^2)}.

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