Deduza a expressão que rege o funcionamento de um sensor de pressão diferencial capacitivo.
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir a expressão que rege o funcionamento de um sensor de pressão diferencial capacitivo — isto é, encontrar a relação entre a diferença de pressão aplicada ao diafragma e a capacitância do sensor (variação de capacitância associada à deflexão do diafragma).\n
Informações e hipóteses que usarei (estou supondo um sensor típico que é o mais comum em provas):\n
Informações e hipóteses que usarei (estou supondo um sensor típico que é o mais comum em provas):\n
- O sensor é formado por um eletrodo fixo e um diafragma que funciona como o outro eletrodo, formando um capacitor de placas quase paralelas; a região entre as placas é preenchida por ar (ou vácuo) com permissividade
.\n - Área do diafragma (e do eletrodo oposto):
, com raio do diafragma.\n - Separação de repouso (sem pressão diferencial):
(distância entre placas no centro quando ).\n - Aplicando uma diferença de pressão
o diafragma se deflete para dentro, com perfil de deflexão (positivo no sentido que diminui a distância entre placas). O deslocamento máximo no centro é .\n - Vou assumir regime de pequenas deflexões:
, o que permite linearizar a expressão da capacitância e usar teoria linear de placas (prática comum em sensores capacitivos).\n
A resolução começará a partir dessas hipóteses.
Passo 2
Fórmula básica do capacitor de placas paralelas e interpretação: a capacitância local (por área infinitesimal) é dada por
Explicando as variáveis:
é a permissividade do meio (no ar, aproximamos por
),
é um elemento de área, e a separação local entre placas varia com
e é
. A capacitância total é a soma (integral) dessas contribuições sobre a área ativa:
Se não houvesse deflexão (
), a capacitância de repouso seria
Passo 3
Perfil de deflexão do diafragma (placa circular engastada) e constante flexural: para uma placa circular, engastada na borda e sob carga de pressão uniforme
, a teoria linear de placas (peça padrão que aparece em provas) dá o perfil
em que
é a coordenada radial e
é a deflexão máxima no centro. Importante: esta é a forma clássica para uma placa circular elástica engastada nas bordas sob carga uniforme (validação: é uma solução conhecida da equação de placas de Kirchhoff).\n
A deflexão central em regime linear é proporcional à pressão aplicada e pode ser escrita como
A deflexão central
onde
é a rigidez flexural da placa, dada por
Aqui
é o módulo de Young do material do diafragma,
é a espessura do diafragma e
é o coeficiente de Poisson. Expliquei o que é cada coisa:
mede a resistência à curvatura do diafragma — quanto maior
, menor a deflexão para uma dada pressão.
Passo 4
Escrever a capacitância total como integral e preparar para aproximar: usando simetria circular,
e a capacitância total é
Esta integral é exata, mas difícil de resolver em forma fechada sem aproximação. Como estamos em pequenas deflexões (
), faz sentido linearizar a fração usando expansão de Taylor.
Passo 5
Linearização para pequenas deflexões (expansão em série): para
podemos usar
Mantemos apenas os termos até ordem linear em
(termo constante + termo linear), porque
é pequeno. Assim,
Separe em capacitância de repouso
e variação
:
com
e
Expliquei:
é a contribuição linear devida à deflexão do diafragma.
Passo 6
Calcular a integral da deflexão sobre a área usando o perfil
: substituímos
na integral.
Troco variável para
, então
e
. O limite
vira
. A integral vira
Agora calculamos a integral interna explicitamente:
Avalia:
Portanto
Observe que
, então este resultado pode ser escrito como
Passo 7
Expressar
em função de
e depois em função de
: usando o resultado anterior,
Agora substituímos
pela expressão em função de
:
Portanto
Simplificando usando
:
pois
. Isto mostra que, em regime linear, a variação de capacitância é proporcional à diferença de pressão
; definimos a sensibilidade (constante de proporcionalidade)
Passo 8
Juntar tudo e escrever a expressão final e as condições de validade: a capacitância total aproximada é
com
onde
Condições de validade (muito importantes para prova e projeto): a dedução vale para pequenas deflexões (
) e para comportamento elástico linear do diafragma; para deflexões grandes há termos não lineares e a relação deixa de ser estritamente linear. Também assumimos que o campo entre placas é uniforme lateralmente (efeitos de borda desprezados) e que o dielétrico é homogêneo com permissividade
.
Resposta
com