Deduza uma expressão para a viscosidade de suspensões concentradas de esferas rígidas em um fluido newtoniano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzir uma expressão para a viscosidade de suspensões concentradas de esferas rígidas em um fluido newtoniano. Isso está dentro do estudo da rheologia, que é a parte da física que estuda o fluxo e a deformação dos materiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as partículas sólidas afetam a viscosidade do fluido e usar algumas fórmulas básicas que relacionam concentração e viscosidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um fluido newtoniano tem viscosidade constante, ou seja, sua resistência ao fluxo não muda com a taxa de deformação. Quando adicionamos esferas rígidas nesse fluido, a viscosidade da mistura aumenta. Para baixas concentrações de partículas, Albert Einstein derivou uma expressão que relaciona a viscosidade do fluido puro ( eta0) com a viscosidade da suspensão ( eta):
eta = eta0 (1 + 52 phi)
Aqui, phi representa a fração volumétrica das partículas na suspensão.

Passo 3

Essa fórmula de Einstein é válida para concentrações baixas de partículas, mas queremos uma expressão para suspensões concentradas, onde phi não é pequena. Para isso, precisamos considerar efeitos de interação entre as partículas, que aumentam mais a viscosidade do que a previsão de Einstein.
Uma abordagem comum para altas concentrações é a fórmula de Krieger-Dougherty, que modifica a relação considerando um limite de concentração chamado de concentração máxima ( phim), onde as partículas estão tão próximas que não podem mais se mover livremente.

Passo 4

A fórmula de Krieger-Dougherty para a viscosidade de suspensões concentradas é dada por:
eta = eta0 (1 - phiphim)^-[eta] phim
Onde [eta] é o fator de eficiência de Einstein, que para esferas rígidas é 52. Substituindo esse valor na equação, temos:
eta = eta0 (1 - phiphim)^-52 phim

Passo 5

Simplificando a expressão, considerando que phim é uma constante que depende do arranjo das partículas na suspensão (normalmente assumido como 0,59 para empacotamento aleatório de esferas), a fórmula final para a viscosidade de suspensões concentradas de esferas rígidas em um fluido newtoniano fica:
eta = eta0 (1 - phiphim)^-2.5 phim
Isso nos dá uma expressão que relaciona a viscosidade da suspensão ( eta) com a viscosidade do fluido puro ( eta0), a fração volumétrica das partículas ( phi) e a concentração máxima ( phim), levando em conta interações entre partículas em suspensões concentradas.

Resposta

A expressão deduzida para a viscosidade de suspensões concentradas de esferas rígidas em um fluido newtoniano é:
eta = eta0 (1 - phiphim)^-2.5 phim

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