Deduza uma expressão para a viscosidade de suspensões concentradas de esferas rígidas em um fluido newtoniano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzir uma expressão para a viscosidade de suspensões concentradas de esferas rígidas em um fluido newtoniano. Isso está dentro do estudo da rheologia, que é a parte da física que estuda o fluxo e a deformação dos materiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as partículas sólidas afetam a viscosidade do fluido e usar algumas fórmulas básicas que relacionam concentração e viscosidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um fluido newtoniano tem viscosidade constante, ou seja, sua resistência ao fluxo não muda com a taxa de deformação. Quando adicionamos esferas rígidas nesse fluido, a viscosidade da mistura aumenta. Para baixas concentrações de partículas, Albert Einstein derivou uma expressão que relaciona a viscosidade do fluido puro (
) com a viscosidade da suspensão (
):
Aqui,
representa a fração volumétrica das partículas na suspensão.
Passo 3
Essa fórmula de Einstein é válida para concentrações baixas de partículas, mas queremos uma expressão para suspensões concentradas, onde
não é pequena. Para isso, precisamos considerar efeitos de interação entre as partículas, que aumentam mais a viscosidade do que a previsão de Einstein.
Uma abordagem comum para altas concentrações é a fórmula de Krieger-Dougherty, que modifica a relação considerando um limite de concentração chamado de concentração máxima (
), onde as partículas estão tão próximas que não podem mais se mover livremente.
Passo 4
A fórmula de Krieger-Dougherty para a viscosidade de suspensões concentradas é dada por:
Onde
é o fator de eficiência de Einstein, que para esferas rígidas é
. Substituindo esse valor na equação, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, considerando que
é uma constante que depende do arranjo das partículas na suspensão (normalmente assumido como 0,59 para empacotamento aleatório de esferas), a fórmula final para a viscosidade de suspensões concentradas de esferas rígidas em um fluido newtoniano fica:
Isso nos dá uma expressão que relaciona a viscosidade da suspensão (
) com a viscosidade do fluido puro (
), a fração volumétrica das partículas (
) e a concentração máxima (
), levando em conta interações entre partículas em suspensões concentradas.
Resposta
A expressão deduzida para a viscosidade de suspensões concentradas de esferas rígidas em um fluido newtoniano é: