Deduza as expressões para gases ideais: K_{p}=K_{x} p^{\Delta v} e K_{p}=K_{c}(R T)^{\Delta v}.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir as fórmulas
K_{p}=K_{x}\,p^{\Delta v} \qquad\text{e}\qquad K_{p}=K_{c}\,(R T)^{\Delta v}.
Informações e convenções que usaremos (todas importantes e dadas implicitamente pelo enunciado):
  • Considerar um equilíbrio químico entre espécies gasosas. Escrevendo um exemplo genérico:
aA + bB \rightleftharpoons cC + dD,
onde a,b,c,d são os coeficientes estequiométricos (números inteiros não-negativos).
  • Definição padrão dos constantes de equilíbrio (para gases):
    • K_{p} é a constante em termos de pressões parciais (ver definição mais abaixo).
    • K_{x} é a constante em termos de frações molares x_i.
    • K_{c} é a constante em termos de concentrações molares c_i (por exemplo mol·L^{-1}).
  • Lei dos gases ideais que relaciona pressão parcial, concentração e fração molar das espécies gasosas:
    • p_i = x_i\,p, onde p é a pressão total e x_i é a fração molar do componente i.
    • p_i = c_i\,R\,T, onde c_i é a concentração molar do componente i, R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura absoluta.
  • Definição de \Delta v (delta-ípsilon/nu): diferença entre o número total de mols gasosos dos produtos e dos reagentes:
\Delta v = (c+d) - (a+b)
(ou, de forma geral, soma dos coeficientes estequiométricos dos produtos gasosos menos a soma dos dos reagentes gasosos).
Nada mais será assumido aqui — começamos a dedução a seguir.

Passo 2

Definições explícitas das constantes de equilíbrio para o exemplo genérico. Isto é importante para não ficar perdido na prova:
  • A constante em pressões parciais é
K_{p}=\frac{p_{C}^{\,c}\,p_{D}^{\,d}}{p_{A}^{\,a}\,p_{B}^{\,b}}.
  • A constante em frações molares é
K_{x}=\frac{x_{C}^{\,c}\,x_{D}^{\,d}}{x_{A}^{\,a}\,x_{B}^{\,b}}.
  • A constante em concentrações molares é
K_{c}=\frac{c_{C}^{\,c}\,c_{D}^{\,d}}{c_{A}^{\,a}\,c_{B}^{\,b}}.
Explicando cada símbolo para você:
  • p_i = pressão parcial do componente i.
  • x_i = fração molar do componente i (número de mols de i dividido pelo número total de mols do gás).
  • c_i = concentração molar de i (por exemplo em mol·L^{-1}).
  • R = constante dos gases ideais (valor numérico depende das unidades usadas).
  • T = temperatura absoluta (K).
  • \Delta v foi definido no passo anterior.

Passo 3

Relação entre pressão parcial e fração molar. Esta é a parte conceitual simples: para uma mistura gasosa ideal vale
p_i = x_i\,p,
onde p é a pressão total da mistura. Agora substituímos essa relação na expressão de K_{p}.
Começamos com
K_{p}=\frac{p_{C}^{\,c}\,p_{D}^{\,d}}{p_{A}^{\,a}\,p_{B}^{\,b}}.
Substituindo p_i = x_i\,p para cada i obtemos
K_{p}=\frac{(x_{C}\,p)^{c}\,(x_{D}\,p)^{d}}{(x_{A}\,p)^{a}\,(x_{B}\,p)^{b}}.

Passo 4

Desenvolvendo a álgebra do passo anterior, use a propriedade de potências (xy)^n = x^n y^n:
K_{p}=\frac{x_{C}^{\,c}\,p^{c}\;x_{D}^{\,d}\,p^{d}}{x_{A}^{\,a}\,p^{a}\;x_{B}^{\,b}\,p^{b}} = \frac{x_{C}^{\,c}\,x_{D}^{\,d}}{x_{A}^{\,a}\,x_{B}^{\,b}}\cdot p^{\,c+d-a-b}.
Reconhecendo a definição de K_{x} no primeiro fator e usando a definição de \Delta v (que é c+d-a-b), obtemos
K_{p}=K_{x}\,p^{\Delta v}.
Pronto — essa é a primeira das relações pedidas. Interpretação prática: se \Delta v>0 a pressão total influencia K_p positivamente; se \Delta v=0 então K_p=K_x (independente da pressão total).

Passo 5

Agora deduzimos a relação entre K_{p} e K_{c} usando a lei dos gases ideais na forma p_i = c_i\,R\,T (válida para gases ideais, com c_i em mol·volume^{-1} consistente com R):
Começamos novamente da definição de K_{p}:
K_{p}=\frac{p_{C}^{\,c}\,p_{D}^{\,d}}{p_{A}^{\,a}\,p_{B}^{\,b}}.
Substituindo p_i = c_i\,R\,T para cada i, obtemos
K_{p}=\frac{(c_{C}\,R\,T)^{c}\,(c_{D}\,R\,T)^{d}}{(c_{A}\,R\,T)^{a}\,(c_{B}\,R\,T)^{b}}.

Passo 6

Desenvolvendo a expressão do passo anterior aplicando (xy)^n=x^n y^n:
K_{p}=\frac{c_{C}^{\,c}\,c_{D}^{\,d}}{c_{A}^{\,a}\,c_{B}^{\,b}}\cdot (R\,T)^{\,c+d-a-b}.
O primeiro fator é exatamente K_{c} pela definição; o expoente de (R\,T) é \Delta v. Portanto chegamos à segunda relação pedida:
K_{p}=K_{c}\,(R\,T)^{\Delta v}.

Passo 7

Exemplos rápidos e observações para fixar (úteis na prova):
  • Exemplo numérico de verificação: para a reação \mathrm{N_2} + 3\mathrm{H_2} \rightleftharpoons 2\mathrm{NH_3} tem-se \Delta v = 2-(1+3)=-2. Assim
K_{p}=K_{x}\,p^{-2} \qquad\text{e}\qquad K_{p}=K_{c}\,(R\,T)^{-2}.
  • Observação importante sobre hipóteses: estas deduções usam o comportamento de gás ideal (para p_i=c_iRT) e a relação de pressão parcial p_i=x_i p. Para sistemas reais em pressões muito altas ou com gases não ideais seria preciso usar fugacidades/atividades em vez de pressões ou concentrações simples.
  • Em muitos livros aparece a forma com as atividades normalizadas (divididas por uma pressão padrão p^\circ ou concentração padrão c^\circ); isso introduz fatores extras constantes. Aqui trabalhamos na forma direta que é a mais usada em provas básicas de físico-química/termodinâmica.

Resposta

K_{p}=K_{x}\,p^{\Delta v}
K_{p}=K_{c}\,(R\,T)^{\Delta v}

Exercícios relacionados