Para o equilíbrio ácido:
\mathrm{HF}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \rightleftharpoons \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}_{(\mathrm{aq})}^{+}+\mathrm{F}_{(\mathrm{aq})}^{-}
mostre que K_{b} K_{a}=K_{w}, sendo \mathrm{K}_{\mathrm{b}} a constante de equilíbrio básica:
\mathrm{F}_{(\mathrm{aq})}^{-}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \rightleftharpoons \mathrm{HF}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{OH}_{(\mathrm{aq})}^{-}
Considere a atividade da água igual a 1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que K_{b}K_{a}=K_{w} para os equilíbrios dados. Informações fornecidas:
  • Equilíbrio ácido:
\mathrm{HF}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H_{2}O}_{(\mathrm{l})}\rightleftharpoons \mathrm{H_{3}O}^{+}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{F}^{-}_{(\mathrm{aq})}
  • Equilíbrio básico (da base conjugada):
\mathrm{F}^{-}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H_{2}O}_{(\mathrm{l})}\rightleftharpoons \mathrm{HF}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{OH}^{-}_{(\mathrm{aq})}
  • Considerar a atividade da água igual a 1.
O que se quer: demonstrar, passo a passo, que o produto das constantes de equilíbrio desses dois equilíbrios é igual à constante de ionização da água K_{w}.

Passo 2

Lembrete da definição de constante de equilíbrio (lei de ação de massas):
  • Para uma reação genérica \alpha A+\beta B\rightleftharpoons\gamma C+\delta D, a constante de equilíbrio K é dada por
K=\dfrac{a_{C}^{\gamma}\,a_{D}^{\delta}}{a_{A}^{\alpha}\,a_{B}^{\beta}},
onde a_X é a atividade da espécie X.
  • Em soluções diluídas, as atividades dos íons e solutos costumam ser aproximadas por concentrações [X] (ou por atividade quando se precisa de precisão).
  • A água líquida pura tem atividade aproximada a_{\mathrm{H_{2}O}}=1 — isso simplifica muito as expressões de constantes quando a água aparece como reagente ou produto.
Explicando as notações que vou usar:
  • [H_{3}O^{+}] significa a concentração (ou atividade aproximada) dos íons hidrônio.
  • [OH^{-}] significa a concentração dos íons hidróxido.
  • [F^{-}] e [HF] são as concentrações das espécies fluoreto e ácido fluoreto.

Passo 3

Escrevendo a constante de acidez K_{a} para o equilíbrio ácido dado, usando a lei das massas:
K_{a}=\dfrac{a_{\mathrm{H_{3}O^{+}}}\,a_{\mathrm{F^{-}}}}{a_{\mathrm{HF}}\,a_{\mathrm{H_{2}O}}}.
Como a atividade da água foi dada como 1, isto se reduz a
K_{a}=\dfrac{a_{\mathrm{H_{3}O^{+}}}\,a_{\mathrm{F^{-}}}}{a_{\mathrm{HF}}} \approx \dfrac{[H_{3}O^{+}]\,[F^{-}]}{[HF]}.
(Usei aqui a aproximação atividade \approx concentração para as espécies dissolvidas.)

Passo 4

Escrevendo a constante básica K_{b} para o equilíbrio da base conjugada:
K_{b}=\dfrac{a_{\mathrm{HF}}\,a_{\mathrm{OH^{-}}}}{a_{\mathrm{F^{-}}}\,a_{\mathrm{H_{2}O}}}.
Novamente usando a_{\mathrm{H_{2}O}}=1, obtemos
K_{b}=\dfrac{a_{\mathrm{HF}}\,a_{\mathrm{OH^{-}}}}{a_{\mathrm{F^{-}}}} \approx \dfrac{[HF]\,[OH^{-}]}{[F^{-}]}.

Passo 5

Multiplicando as expressões aproximadas para K_{a} e K_{b}:
K_{a}K_{b} \approx \left(\dfrac{[H_{3}O^{+}]\,[F^{-}]}{[HF]}\right)\left(\dfrac{[HF]\,[OH^{-}]}{[F^{-}]}\right).
Agora observe que [F^{-}] aparece no numerador de um fator e no denominador do outro, e [HF] aparece no denominador de um fator e no numerador do outro; esses termos se cancelam. Após o cancelamento fica:
K_{a}K_{b}\approx [H_{3}O^{+}]\,[OH^{-}].

Passo 6

Definição da constante de ionização da água K_{w}:
  • A autoionização da água pode ser escrita como
2\,\mathrm{H_{2}O}_{(\ell)}\rightleftharpoons \mathrm{H_{3}O^{+}}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{OH^{-}}_{(\mathrm{aq})}.
  • A constante de equilíbrio correspondente é
K_{w}=\dfrac{a_{\mathrm{H_{3}O^{+}}}\,a_{\mathrm{OH^{-}}}}{a_{\mathrm{H_{2}O}}^{2}}.
Com a_{\mathrm{H_{2}O}}=1 isso simplifica para
K_{w}=a_{\mathrm{H_{3}O^{+}}}\,a_{\mathrm{OH^{-}}}\approx [H_{3}O^{+}]\,[OH^{-}].

Passo 7

Comparando o resultado do produto K_{a}K_{b} (Passo 5) com a definição de K_{w} (Passo 6), concluímos:
K_{a}K_{b}=K_{w}.
Isto é exatamente o que havia que mostrar: o produto da constante de acidez de um ácido e da constante básica de sua base conjugada é a constante de ionização da água, desde que se tome a atividade da água igual a 1.

Resposta

K_{b}K_{a}=K_{w}

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