Deduza as expressões matemáticas para:
a variação da energia interna com a pressão, mantendo a temperatura constante
a variação da energia interna com a pressão, mantendo a temperatura constante
Passo 1
Você pediu a expressão que dá a variação da energia interna com a pressão, mantendo a temperatura constante.\n
Informações relevantes que vamos usar (tudo que segue é suposto válido para um sistema compressível simples, fechado):\n
Informações relevantes que vamos usar (tudo que segue é suposto válido para um sistema compressível simples, fechado):\n
- Queremos a derivada parcial
.\n - Variáveis termodinâmicas: energia interna
, pressão , volume , temperatura , entropia .\n - Relação fundamental de energia interna (para um sistema simples, sem trabalho além do de pressão-volume):
(esta relação conecta pequenas variações de
,
e
).\n
- Podemos usar potenciais termodinâmicos (por exemplo o potencial de Helmholtz) e relações de Maxwell quando necessário.\n
Passo 2
Estratégia matemática (sem resolver ainda, só explicando a ponte matemática que vamos usar):\n
Se tivermos
como função de
ou de
, podemos usar regra da cadeia para ligar derivadas entre as variáveis. Em particular, como
pode ser visto como função de
, pelo cálculo das derivadas parciais vale a identidade de cadeia (para
fixo):
Explicando isso de forma simples: se
depende de
e
depende de
(com
fixo), então a mudança de
quando altero
é a mudança de
quando altero
multiplicada pela mudança de
quando altero
.\n
Vou, portanto, primeiro achar e depois multiplicar por
.
Vou, portanto, primeiro achar
Passo 3
Obter
a partir da relação fundamental. \n
Começamos da relação
Trate
como função de
. Então o diferencial total é
Comparando com
e fixando
(ou seja
), obtemos isolando o coeficiente de
:
Explicando devagar: quando
não varia, a única contribuição para
que envolve
vem de
(porque
pode variar com
mesmo com
fixo) e do termo
. Por isso aparece
.
Passo 4
Transformar
em uma derivada mais conveniente usando uma relação de Maxwell. \n
Defina o potencial de Helmholtz
. O diferencial é
Usando
dentro, obtemos
Da expressão acima temos as relações (por definição de derivadas parciais):
Como as derivadas segundas de
são contínuas, as derivadas mistas coincidem, daí vem a relação de Maxwell:
Intuição curta: troca de ordem nas segundas derivadas de
gera essa igualdade entre como a entropia muda com volume e como a pressão muda com temperatura (à mesma variável fixa).
Passo 5
Substituir a relação de Maxwell na expressão de
. \n
Usando
em
vemos que
Explicação: essa fórmula é muito útil — diz que a variação da energia interna com o volume (à temperatura fixa) é dada por duas partes: uma termal
que vem da dependência da pressão com a temperatura, e o termo
do trabalho de pressão.
Passo 6
Agora volte à expressão para
usando a regra da cadeia do Passo 2. \n
Substituindo
na identidade
obtemos a forma direta e prática:
Comentário sobre
: matematicamente é a derivada de
em relação a
mantendo
constante; se conhecer a equação de estado
, pode-se calcular
como o inverso de
(desde que esta última não seja zero):
Passo 7
Forma alternativa usando a compressibilidade isotérmica (útil em física/engenharia). \n
Defina a compressibilidade isotérmica
por
Logo
. Substituindo na expressão do Passo 6 dá outra forma equivalente:
Esta forma pode ser mais prática quando você sabe
experimentalmente.
Passo 8
Exemplo concreto para fixar a intuição (não pule este, é rápido e consolida a fórmula): gás ideal.\n
Para gás ideal temos a equação de estado
. Mantendo
fixo:
Então
Mas
(pela própria equação), logo o resultado é zero. Portanto para gás ideal
e, por consequência,
. Intuição física: energia interna do gás ideal depende só da temperatura, não do volume nem da pressão quando
é fixo.\n
Bom trabalho — se estiver nervoso pra prova: memorize a fórmula do Passo 5 e a regra da cadeia do Passo 2; com isso você resolve essa classe de problema rápido.
Bom trabalho — se estiver nervoso pra prova: memorize a fórmula do Passo 5 e a regra da cadeia do Passo 2; com isso você resolve essa classe de problema rápido.