Determinar a variação da entalpia e da entropia com a pressão, mantendo a temperatura constante, dado o comportamento PVT de gás ideal.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar como variam a entalpia e a entropia quando a pressão muda, mantendo a temperatura constante, supondo que o gás se comporta como gás ideal.
Informações dadas (explicitadas): O gás ideal satisfaz a equação de estado \;PV=RT\; (forma molar; P = pressão, V = volume molar, T = temperatura absoluta, R = constante dos gases).

Passo 2

Entender o que é entalpia e como ela depende das variáveis: entalpia molar é definida por \;H=U+PV\;, onde \;U\; é a energia interna molar. Para um gás ideal temos a propriedade importante: a energia interna molar \;U\; depende somente da temperatura, isto é \;U=U(T)\;. Vou explicar rapidamente por que isso é usado: no modelo de gás ideal as interações entre moléculas são desprezíveis, portanto a energia interna é a energia cinética molecular média, que é função apenas de T. Assim \;U(T)\; não depende de P nem de V se T for fixada.

Passo 3

Usar isso para a entalpia: substituindo \;U(T)\; em \;H=U+PV\; e usando \;PV=RT\; obtemos:
H = U(T) + RT.
Ambos os termos à direita dependem só de T. Portanto, à temperatura constante, H não muda. Outra forma equivalente e muito usada é a relação diferencial
dH = C_p\,dT,
onde \;C_p=(\partial H/\partial T)_P\; é a capacidade térmica a pressão constante. Se \;dT=0\; então \;dH=0\;. Conclusão (já desenhada): à T constante a entalpia não varia.

Passo 4

Agora a entropia. Quero encontrar \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T. Para isso usamos uma relação termodinâmica útil que vem da energia livre de Gibbs G. A diferencial exata de G é
dG = V\,dP - S\,dT.
Dessa expressão segue a identidade de Maxwell obtida trocando derivadas mistas:
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P.
Vou explicar a ideia: a expressão de dG mostra que S=-(\partial G/\partial T)_P e V=(\partial G/\partial P)_T. Diferenciando essas expressões cruzadas e usando a igualdade das derivadas mistas de G leva à relação acima. Essa é uma ferramenta padrão para relacionar variação de entropia com derivadas de volume.

Passo 5

Aplicar ao gás ideal. Para um gás ideal, a equação de estado molar é \;V=\dfrac{RT}{P}\;. Diferenciamos V em relação a T mantendo P constante:
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \frac{R}{P}.
Mostrei passo a passo: \;V(T)=RT\cdot P^{-1}\;, derivando em T com P fixo dá \;R\cdot P^{-1}=\dfrac{R}{P}\;.

Passo 6

Combinar Passo 4 e Passo 5 para obter a variação da entropia com a pressão à temperatura constante:
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = -\frac{R}{P}.
Isso é a derivada parcial. Em forma diferencial, à T constante:
dS = -\frac{R}{P}\,dP = -R\,\frac{dP}{P}.

Passo 7

Integrar para obter a variação finita de entropia entre duas pressões P_1 e P_2 à mesma temperatura T. Separando variáveis e integrando:
\Delta S = \int_{S_1}^{S_2} dS = -R\int_{P_1}^{P_2} \frac{dP}{P} = -R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Interpretação física rápida: se a pressão aumenta ( P_2>P_1) à mesma T, então \Delta S<0 — a entropia diminui; se a pressão diminui, a entropia aumenta.

Passo 8

Resumo didático curto para decorar na prova: para gás ideal, entalpia depende só de T e entropia varia com P segundo uma lei logarítmica. Anote as fórmulas-chave para usar direto na hora da prova.

Resposta

\left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_T = 0 (logo \Delta H=0 à T constante).
\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\dfrac{R}{P} e \displaystyle \Delta S = -R\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right) T constante).

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