Determinar a variação da entalpia e da entropia com a pressão, mantendo a temperatura constante, dado o comportamento PVT de gás ideal.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar como variam a entalpia e a entropia quando a pressão muda, mantendo a temperatura constante, supondo que o gás se comporta como gás ideal.
Informações dadas (explicitadas): O gás ideal satisfaz a equação de estado
(forma molar;
= pressão,
= volume molar,
= temperatura absoluta,
= constante dos gases).
Informações dadas (explicitadas):
Passo 2
Entender o que é entalpia e como ela depende das variáveis: entalpia molar é definida por
, onde
é a energia interna molar. Para um gás ideal temos a propriedade importante: a energia interna molar
depende somente da temperatura, isto é
. Vou explicar rapidamente por que isso é usado: no modelo de gás ideal as interações entre moléculas são desprezíveis, portanto a energia interna é a energia cinética molecular média, que é função apenas de
. Assim
não depende de
nem de
se
for fixada.
Passo 3
Usar isso para a entalpia: substituindo
em
e usando
obtemos:
Ambos os termos à direita dependem só de
. Portanto, à temperatura constante,
não muda. Outra forma equivalente e muito usada é a relação diferencial
onde
é a capacidade térmica a pressão constante. Se
então
. Conclusão (já desenhada): à
constante a entalpia não varia.
Passo 4
Agora a entropia. Quero encontrar
. Para isso usamos uma relação termodinâmica útil que vem da energia livre de Gibbs
. A diferencial exata de
é
Dessa expressão segue a identidade de Maxwell obtida trocando derivadas mistas:
Vou explicar a ideia: a expressão de
mostra que
e
. Diferenciando essas expressões cruzadas e usando a igualdade das derivadas mistas de
leva à relação acima. Essa é uma ferramenta padrão para relacionar variação de entropia com derivadas de volume.
Passo 5
Aplicar ao gás ideal. Para um gás ideal, a equação de estado molar é
. Diferenciamos
em relação a
mantendo
constante:
Mostrei passo a passo:
, derivando em
com
fixo dá
.
Passo 6
Combinar Passo 4 e Passo 5 para obter a variação da entropia com a pressão à temperatura constante:
Isso é a derivada parcial. Em forma diferencial, à
constante:
Passo 7
Integrar para obter a variação finita de entropia entre duas pressões
e
à mesma temperatura
. Separando variáveis e integrando:
Interpretação física rápida: se a pressão aumenta (
) à mesma
, então
— a entropia diminui; se a pressão diminui, a entropia aumenta.
Passo 8
Resumo didático curto para decorar na prova: para gás ideal, entalpia depende só de
e entropia varia com
segundo uma lei logarítmica. Anote as fórmulas-chave para usar direto na hora da prova.