Deduzir a Equação de Clausius-Clapeyron mostrando a relação da pressão com a temperatura.

Passo 1

O enunciado pede para deduzirmos a equação de Clausius–Clapeyron, que relaciona a pressão de vapor de uma substância com a temperatura, partindo de princípios de termodinâmica de fases em equilíbrio. Vamos precisar dos conceitos de potencial químico, entropia molar S, volume molar V e calor latente de vaporização L.

Passo 2

Em equilíbrio de fases, o potencial químico molar \mu é igual para as duas fases (líquido e vapor). Do primeiro princípio da termodinâmica para um mol, o diferencial é
d\mu = -S\,dT + V\,dp.
Igualando para as fases líquida S_\ell,V_\ell e vapor S_v,V_v, obtemos
-S_\ell\,dT + V_\ell\,dp = -S_v\,dT + V_v\,dp.
Reagrupando, ficamos com
(S_v - S_\ell)\,dT = (V_v - V_\ell)\,dp.
Logo,
\frac{dp}{dT} = \frac{S_v - S_\ell}{V_v - V_\ell} = \frac{\Delta S}{\Delta V}.

Passo 3

Pela definição de calor latente molar de vaporização, sabemos que
L = T\,\Delta S,
onde \Delta S = S_v - S_\ell. Substituindo em \frac{dp}{dT} = \frac{\Delta S}{\Delta V}, obtemos a forma diferencial de Clapeyron:
\frac{dp}{dT} = \frac{L}{T\,\Delta V}.

Passo 4

No caso de vaporização, o volume molar do vapor é muito maior que o do líquido, então \Delta V \approx V_v. Supondo que o vapor se comporte como gás ideal, temos
V_v = \frac{R\,T}{p}.
Substituindo em \frac{dp}{dT} = \frac{L}{T\,\Delta V}, resulta
\frac{dp}{dT} = \frac{L}{T}\,\frac{p}{R\,T} = \frac{L\,p}{R\,T^2}.
Esta é a forma simplificada da equação de Clausius–Clapeyron para vaporização.

Passo 5

Para obter a relação explícita p(T), separamos variáveis:
\frac{dp}{p} = \frac{L}{R}\,\frac{dT}{T^2}
e integramos, supondo L constante entre (p_0,T_0) e (p,T):
\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{p'} = \frac{L}{R}\int_{T_0}^{T}\frac{dT'}{T'^2} \quad\Rightarrow\quad \ln\frac{p}{p_0} = -\frac{L}{R}\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\Bigr).
Reescrevendo,
\ln p = -\frac{L}{R\,T} + \text{const}.

Resposta

A equação de Clausius–Clapeyron em forma diferencial é
\frac{dp}{dT} = \frac{L}{T\,\Delta V},
e, para vapores ideais com \Delta V\approx \tfrac{R\,T}{p}, integra-se para
\ln\frac{p}{p_0} = -\frac{L}{R}\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \ln p = -\frac{L}{R\,T} + \text{const}.

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