A distribuição de temperatura T, no estado estacionário, em sólidos, é descrito pela equação de Laplace, ou seja:
\nabla^{2} T(x, y, z)=0
Mostre que a solução T(x, y, z)=e^{3 x+4 y} \cos (5 z) é solução da equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
T(x,y,z)=e^{3x+4y}\cos(5z)
satisfaz a equação de Laplace em coordenadas cartesianas, ou seja
\nabla^2 T=\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}=0.
Para isso, vamos calcular cada derivada segunda de T em x, y e z.

Passo 2

Calcular \partial^2 T/\partial x^2. Primeiro
\frac{\partial T}{\partial x} =3\,e^{3x+4y}\cos(5z).
Derivando de novo em x,
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} =3\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{3x+4y}\cos(5z)\bigr) =3\cdot3\,e^{3x+4y}\cos(5z) =9\,e^{3x+4y}\cos(5z).

Passo 3

Calcular \partial^2 T/\partial y^2. Primeiro
\frac{\partial T}{\partial y} =4\,e^{3x+4y}\cos(5z).
Derivando de novo em y,
\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} =4\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{3x+4y}\cos(5z)\bigr) =4\cdot4\,e^{3x+4y}\cos(5z) =16\,e^{3x+4y}\cos(5z).

Passo 4

Calcular \partial^2 T/\partial z^2. Primeiro
\frac{\partial T}{\partial z} =-5\,e^{3x+4y}\sin(5z).
Derivando de novo em z,
\frac{\partial^2 T}{\partial z^2} =-5\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{3x+4y}\sin(5z)\bigr) =-5\cdot5\,e^{3x+4y}\cos(5z) =-25\,e^{3x+4y}\cos(5z).

Passo 5

Somando as três derivadas segundas,
\nabla^2 T =9\,e^{3x+4y}\cos(5z) +16\,e^{3x+4y}\cos(5z) -25\,e^{3x+4y}\cos(5z) =(9+16-25)\,e^{3x+4y}\cos(5z) =0.
Portanto \nabla^2 T=0.

Resposta

A função T(x,y,z)=e^{3x+4y}\cos(5z) satisfaz a equação de Laplace.

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