Defina a função de partição canônica. Qual a sua importância?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a função de partição canônica e explicarmos por que ela é importante. O tema é Mecânica Estatística, especificamente o ensemble canônico, em que um sistema térmico troca energia com um reservatório a temperatura T. Para resolver, vamos precisar relacionar microestados, energias e o parâmetro \beta=1/(k_{B}T).

Passo 2

A função de partição canônica reúne o peso estatístico de todos os microestados possíveis do sistema. Denotando por E_{i} a energia do microestado i e por \beta=\frac{1}{k_{B}T}, definimos
Z(\beta)\;=\;\sum_{i}e^{-\beta E_{i}}.
Aqui cada termo e^{-\beta E_{i}} é o fator de Boltzmann que mede a “probabilidade não normalizada” do sistema ficar no microestado i.

Passo 3

A importância de Z(\beta) vem do fato de que a partir dela podemos obter todas as grandezas termodinâmicas do ensemble canônico. Por exemplo:
F(\beta)=-\,k_{B}T\ln Z(\beta)
é a energia livre de Helmholtz,
\langle E\rangle=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z(\beta)
é a energia interna média,
C_{V}=\frac{\partial\langle E\rangle}{\partial T}
é a capacidade calorífica,
e assim por diante. Além disso, a probabilidade normalizada de encontrar o sistema no microestado i é
p_{i}=\frac{e^{-\beta E_{i}}}{Z(\beta)}.

Passo 4

Portanto, a função de partição canônica não é apenas um somatório: ela é o gerador das propriedades macroscópicas (energia, entropia, calor específico etc.) a partir dos dados microscópicos \{E_{i}\}. Sem Z, não há ponte quantitativa entre a estatística das microestados e a termodinâmica.

Resposta

A função de partição canônica é
Z(\beta)=\sum_{i}e^{-\beta E_{i}},\quad \beta=\frac{1}{k_{B}T}.
Ela é importante porque, a partir de \ln Z e de suas derivadas em relação a \beta (ou a T), obtemos todas as grandezas termodinâmicas do sistema no ensemble canônico e as probabilidades de ocupação de cada microestado.

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