Explique o papel da densidade de estados no ensemble microcanônico.

Passo 1

Neste exercício vamos entender o ensemble microcanônico da Mecânica Estatística, cujo conteúdo-chave é a definição e o uso da densidade de estados. Vamos precisar saber o que é o ensemble microcanônico, como se conta o número de microestados num intervalo de energia e como isso se relaciona com as grandezas termodinâmicas (entropia e temperatura).

Passo 2

Definimos a densidade de estados \Omega(E) como o número de microestados cujo valor da energia está num intervalo infinitesimal em torno de E. Em sistemas clássicos, escrevemos
\Omega(E) = \frac{1}{h^{3N}N!} \int \delta\!\bigl(H(p,q)-E\bigr)\,dp\,dq,
onde H(p,q) é o hamiltoniano, o fator h^{3N}N! ajusta unidades e indistinguibilidade, e \delta força a condição de energia fixa.

Passo 3

No ensemble microcanônico todas as microconfigurações com energia E são consideradas igualmente prováveis. A densidade de estados \Omega(E) conta exatamente quantas dessas microconfigurações existem. Assim, para calcular qualquer média \langle A\rangle de uma observável A(p,q), usamos
\langle A\rangle = \frac{1}{\Omega(E)} \frac{1}{h^{3N}N!} \int A(p,q)\,\delta\!\bigl(H(p,q)-E\bigr)\,dp\,dq.

Passo 4

A entropia termodinâmica no ensemble microcanônico é diretamente dada por Boltzmann:
S(E) = k_{B}\,\ln \Omega(E).
Isto mostra que a densidade de estados é a base para definir a entropia e, assim, para conectar Mecânica Estatística à Termodinâmica.

Passo 5

A partir de S(E) obtemos a temperatura pelo diferencial
\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E} = k_{B}\,\frac{\partial \ln \Omega(E)}{\partial E}.
Logo, a variação de \ln\Omega com E determina como a energia influencia a temperatura do sistema.

Passo 6

Em resumo, a densidade de estados \Omega(E) no ensemble microcanônico tem dois papéis fundamentais:
  1. Normaliza a distribuição uniforme de microestados de energia fixa, garantindo que as médias sejam bem definidas.
  2. Entra na definição de entropia e temperatura, permitindo derivar todas as propriedades termodinâmicas a partir da contagem de microestados.

Resposta

A densidade de estados \Omega(E) conta o número de microestados com energia E, normaliza a distribuição uniforme no ensemble microcanônico e, por meio de
S(E)=k_{B}\ln\Omega(E)\quad\text{e}\quad\frac{1}{T}=\frac{\partial\ln\Omega(E)}{\partial E},
liga a Mecânica Estatística à Termodinâmica, definindo entropia e temperatura.

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