Explique o papel da densidade de estados no ensemble microcanônico.
Passo 1
Neste exercício vamos entender o ensemble microcanônico da Mecânica Estatística, cujo conteúdo-chave é a definição e o uso da densidade de estados. Vamos precisar saber o que é o ensemble microcanônico, como se conta o número de microestados num intervalo de energia e como isso se relaciona com as grandezas termodinâmicas (entropia e temperatura).
Passo 2
Definimos a densidade de estados
como o número de microestados cujo valor da energia está num intervalo infinitesimal em torno de
. Em sistemas clássicos, escrevemos
onde
é o hamiltoniano, o fator
ajusta unidades e indistinguibilidade, e
força a condição de energia fixa.
Passo 3
No ensemble microcanônico todas as microconfigurações com energia
são consideradas igualmente prováveis. A densidade de estados
conta exatamente quantas dessas microconfigurações existem. Assim, para calcular qualquer média
de uma observável
, usamos
Passo 4
A entropia termodinâmica no ensemble microcanônico é diretamente dada por Boltzmann:
Isto mostra que a densidade de estados é a base para definir a entropia e, assim, para conectar Mecânica Estatística à Termodinâmica.
Passo 5
A partir de
obtemos a temperatura pelo diferencial
Logo, a variação de
com
determina como a energia influencia a temperatura do sistema.
Passo 6
Em resumo, a densidade de estados
no ensemble microcanônico tem dois papéis fundamentais:
- Normaliza a distribuição uniforme de microestados de energia fixa, garantindo que as médias sejam bem definidas.
- Entra na definição de entropia e temperatura, permitindo derivar todas as propriedades termodinâmicas a partir da contagem de microestados.
Resposta
A densidade de estados
conta o número de microestados com energia
, normaliza a distribuição uniforme no ensemble microcanônico e, por meio de
liga a Mecânica Estatística à Termodinâmica, definindo entropia e temperatura.