Defina (pesquise a definição formal) e exemplifique:
j) Exatidão
j) Exatidão
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a palavra “Exatidão”: uma definição formal (ou seja, a definição matemática/usual precisa usada em ciências exatas) e um(s) exemplo(s) que ilustrem essa definição.
Não há dados adicionais no enunciado. Vou apresentar a definição formal mais comum em dois contextos relevantes para cursos de exatas (estatística/medidas e análise numérica), porque a palavra “exatidão” aparece com sentidos técnicos diferentes dependendo do contexto.
Não há dados adicionais no enunciado. Vou apresentar a definição formal mais comum em dois contextos relevantes para cursos de exatas (estatística/medidas e análise numérica), porque a palavra “exatidão” aparece com sentidos técnicos diferentes dependendo do contexto.
Passo 2
Escolhi tratar os dois contextos porque:
- Em estatística/teoria de medidas “exatidão” costuma relacionar-se à proximidade do valor estimado ou medido ao valor verdadeiro, e existem fórmulas claras (viés, erro quadrático médio) que formalizam isso. Esse é o uso mais básico e útil em provas de graduação.
- Em análise numérica existe um uso técnico chamado “grau de exatidão” de uma fórmula de quadratura; é simples, comum em provas e também formal.
Vou primeiro definir e exemplificar a exatidão no contexto de estimadores/medidas (com fórmulas) e depois apresentar a definição de “grau de exatidão” em quadratura com um exemplo rápido.
Passo 3
Definição formal em estatística/medidas (proximidade ao valor verdadeiro).
Seja um parâmetro verdadeiro (ou o valor físico exato que se quer estimar/medir) e seja
um estimador ou medida aleatória para
. Dois conceitos formais relacionados à exatidão são:
Seja
Explicação das fórmulas:
- Na expressão
, é o valor esperado do estimador; o viés é a diferença entre esse valor médio e o verdadeiro . Se , diz-se que é não viciado (unbiased). - O
mede, em média, o quadrado do erro entre e ; combina efeito sistemático e aleatório. Existe a identidade fundamental
onde
é a variância de
. Esta identidade mostra que a “exatidão” (no sentido de quão perto, em média, fica
de
) depende tanto do viés quanto da variabilidade. Portanto, na prática, um estimador é considerado mais exato que outro se tiver
menor.
Passo 4
Exemplos no contexto de estimadores (para fixar):
Exemplo 1 — estimador não viciado com variância:
Se são i.i.d. com média
e variância
, o estimador
satisfaz
Exemplo 1 — estimador não viciado com variância:
Se
e portanto
Isto significa que
é não viciado e sua exatidão melhora (MSE diminui) quando
aumenta.
Exemplo 2 — comparação numérica para entender importância do MSE:
Considere dois estimadores de um mesmo :
Considere dois estimadores de um mesmo
-
com e . -
com (viés ) e .
Calculemos os
:
Apesar de
ser viciado, ele tem
menor; portanto, em termos de exatidão (erro médio ao verdadeiro),
é melhor. Isso reforça que “ser não viciado” não garante ser o mais exato — a variância importa.
Passo 5
Definição formal em análise numérica: grau de exatidão de uma regra de quadratura.
Seja uma regra de integração aproximada que atribui a cada função
uma aproximação
de
. O grau de exatidão (ou grau de precisão) é o maior inteiro
tal que
Seja uma regra de integração aproximada
para todo polinômio
de grau
. Ou seja, a regra integra exatamente todos os polinômios até grau
. Esse
é uma medida formal de quão “exata” a regra é para polinômios.
Exemplo simples: a regra de Simpson (no intervalo padrão) tem grau de exatidão
: ela integra exatamente quaisquer
de grau
mas falha, em geral, para grau
.
Passo 6
Resumo prático para prova (dicas rápidas):
- Se a pergunta for sobre estimadores/medidas: escreva
e ; compare estimadores usando . - Se a pergunta for sobre regras numéricas de integração: mostre o teste em monômios
; o maior para o qual a regra é exata define o grau de exatidão. - Lembre-se: “exatidão” não é sinônimo de “precisão” — precisão é sobre dispersão (variância), exatidão é sobre proximidade ao valor verdadeiro (bias/MSE).
Resposta
Exatidão (contexto estatístico/medidas): a exatidão quantifica a proximidade média de um estimador/medida
ao valor verdadeiro
. Formalmente define-se o viés
e o erro quadrático médio
. Um estimador é mais exato que outro se tiver
menor. Exemplo:
tem
e
; comparando dois estimadores, aquele com menor
é o mais exato.
Exatidão (análise numérica — grau de exatidão): para uma regra de quadratura, o grau de exatidão é o maior inteiro tal que a regra integra exatamente todos os polinômios de grau
. Exemplo: a regra de Simpson tem grau de exatidão
.
Exatidão (análise numérica — grau de exatidão): para uma regra de quadratura, o grau de exatidão é o maior inteiro