Defina (pesquise a definição formal) e exemplifique:
j) Exatidão

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a palavra “Exatidão”: uma definição formal (ou seja, a definição matemática/usual precisa usada em ciências exatas) e um(s) exemplo(s) que ilustrem essa definição.
Não há dados adicionais no enunciado. Vou apresentar a definição formal mais comum em dois contextos relevantes para cursos de exatas (estatística/medidas e análise numérica), porque a palavra “exatidão” aparece com sentidos técnicos diferentes dependendo do contexto.

Passo 2

Escolhi tratar os dois contextos porque:
  • Em estatística/teoria de medidas “exatidão” costuma relacionar-se à proximidade do valor estimado ou medido ao valor verdadeiro, e existem fórmulas claras (viés, erro quadrático médio) que formalizam isso. Esse é o uso mais básico e útil em provas de graduação.
  • Em análise numérica existe um uso técnico chamado “grau de exatidão” de uma fórmula de quadratura; é simples, comum em provas e também formal.
    Vou primeiro definir e exemplificar a exatidão no contexto de estimadores/medidas (com fórmulas) e depois apresentar a definição de “grau de exatidão” em quadratura com um exemplo rápido.

Passo 3

Definição formal em estatística/medidas (proximidade ao valor verdadeiro).
Seja \theta um parâmetro verdadeiro (ou o valor físico exato que se quer estimar/medir) e seja \hat\theta um estimador ou medida aleatória para \theta. Dois conceitos formais relacionados à exatidão são:
\text{Viés:}\quad \operatorname{Bias}(\hat\theta)=\mathbb{E}[\hat\theta]-\theta,é
\text{Erro quadrático médio (MSE):}\quad \mathrm{MSE}(\hat\theta)=\mathbb{E}\big[(\hat\theta-\theta)^2\big].áé
Explicação das fórmulas:
  • Na expressão \operatorname{Bias}(\hat\theta), \mathbb{E}[\hat\theta] é o valor esperado do estimador; o viés é a diferença entre esse valor médio e o verdadeiro \theta. Se \operatorname{Bias}(\hat\theta)=0, diz-se que \hat\theta é não viciado (unbiased).
  • O \mathrm{MSE} mede, em média, o quadrado do erro entre \hat\theta e \theta; combina efeito sistemático e aleatório. Existe a identidade fundamental
\mathrm{MSE}(\hat\theta)=\operatorname{Var}(\hat\theta)+\big(\operatorname{Bias}(\hat\theta)\big)^2,
onde \operatorname{Var}(\hat\theta) é a variância de \hat\theta. Esta identidade mostra que a “exatidão” (no sentido de quão perto, em média, fica \hat\theta de \theta) depende tanto do viés quanto da variabilidade. Portanto, na prática, um estimador é considerado mais exato que outro se tiver \mathrm{MSE} menor.

Passo 4

Exemplos no contexto de estimadores (para fixar):
Exemplo 1 — estimador não viciado com variância:
Se X_1,\dots,X_n são i.i.d. com média \mu e variância \sigma^2, o estimador \bar X=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i satisfaz
\mathbb{E}[\bar X]=\mu\quad(\text{logo }\operatorname{Bias}(\bar X)=0), \qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n},
e portanto
\mathrm{MSE}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}.
Isto significa que \bar X é não viciado e sua exatidão melhora (MSE diminui) quando n aumenta.
Exemplo 2 — comparação numérica para entender importância do MSE:
Considere dois estimadores de um mesmo \theta:
  • \hat\theta_A com \mathbb{E}[\hat\theta_A]=\theta e \operatorname{Var}(\hat\theta_A)=25.
  • \hat\theta_B com \mathbb{E}[\hat\theta_B]=\theta+2 (viés =2) e \operatorname{Var}(\hat\theta_B)=1.
Calculemos os \mathrm{MSE}:
\mathrm{MSE}(\hat\theta_A)=25+0^2=25, \qquad \mathrm{MSE}(\hat\theta_B)=1+2^2=5.
Apesar de \hat\theta_B ser viciado, ele tem \mathrm{MSE} menor; portanto, em termos de exatidão (erro médio ao verdadeiro), \hat\theta_B é melhor. Isso reforça que “ser não viciado” não garante ser o mais exato — a variância importa.

Passo 5

Definição formal em análise numérica: grau de exatidão de uma regra de quadratura.
Seja uma regra de integração aproximada Q que atribui a cada função f uma aproximação Q(f) de \int_a^b f(x)\,dx. O grau de exatidão (ou grau de precisão) é o maior inteiro m tal que
Q(p)=\int_a^b p(x)\,dx
para todo polinômio p de grau \le m. Ou seja, a regra integra exatamente todos os polinômios até grau m. Esse m é uma medida formal de quão “exata” a regra é para polinômios.
Exemplo simples: a regra de Simpson (no intervalo padrão) tem grau de exatidão m=3: ela integra exatamente quaisquer p(x) de grau \le 3 mas falha, em geral, para grau 4.

Passo 6

Resumo prático para prova (dicas rápidas):
  • Se a pergunta for sobre estimadores/medidas: escreva \operatorname{Bias}(\hat\theta) e \mathrm{MSE}(\hat\theta)=\operatorname{Var}(\hat\theta)+\operatorname{Bias}(\hat\theta)^2; compare estimadores usando \mathrm{MSE}.
  • Se a pergunta for sobre regras numéricas de integração: mostre o teste em monômios x^k; o maior k para o qual a regra é exata define o grau de exatidão.
  • Lembre-se: “exatidão” não é sinônimo de “precisão” — precisão é sobre dispersão (variância), exatidão é sobre proximidade ao valor verdadeiro (bias/MSE).

Resposta

Exatidão (contexto estatístico/medidas): a exatidão quantifica a proximidade média de um estimador/medida \hat\theta ao valor verdadeiro \theta. Formalmente define-se o viés \operatorname{Bias}(\hat\theta)=\mathbb{E}[\hat\theta]-\theta e o erro quadrático médio \mathrm{MSE}(\hat\theta)=\mathbb{E}[(\hat\theta-\theta)^2]=\operatorname{Var}(\hat\theta)+\operatorname{Bias}(\hat\theta)^2. Um estimador é mais exato que outro se tiver \mathrm{MSE} menor. Exemplo: \bar X tem \operatorname{Bias}=0 e \mathrm{MSE}=\sigma^2/n; comparando dois estimadores, aquele com menor \mathrm{MSE} é o mais exato.
Exatidão (análise numérica — grau de exatidão): para uma regra de quadratura, o grau de exatidão é o maior inteiro m tal que a regra integra exatamente todos os polinômios de grau \le m. Exemplo: a regra de Simpson tem grau de exatidão m=3.