Defina (pesquise a definição formal) e exemplifique:
n) Classe de exatidão
n) Classe de exatidão
Passo 1
O que o enunciado pede: definir formalmente o termo “classe de exatidão” e dar exemplos.
Informações que tenho: o pedido é genérico (não deu contexto explícito), então vou usar a definição padrão usada em regras de quadratura (aproximação de integrais) e apresentar exemplos clássicos (regra do trapézio, ponto médio, Simpson, Gauss). Vou mostrar como verificar a classe de exatidão testando polinômios monômios .
Informações que tenho: o pedido é genérico (não deu contexto explícito), então vou usar a definição padrão usada em regras de quadratura (aproximação de integrais) e apresentar exemplos clássicos (regra do trapézio, ponto médio, Simpson, Gauss). Vou mostrar como verificar a classe de exatidão testando polinômios monômios
Passo 2
Definição formal (forma padrão usada em quadratura). Seja uma regra de quadratura linear
que aproxima a integral
por uma soma de valores pontuais
onde
são os nós e
os pesos. Diz-se que a regra
tem classe de exatidão (ou grau de exatidão, ou precisão) igual a
se:
- Para todo polinômio
de grau vale
e
2. Existe pelo menos um polinômio de grau
tal que
2. Existe pelo menos um polinômio
Em outras palavras,
é o maior inteiro tal que a regra integra exatamente todos os polinômios de grau
.
Interpretação didática e por que isso importa. A ideia é: polinômios são uma base simples para funções suaves; se uma regra é exata para todos os polinômios até grau
, então ela reproduz perfeitamente termos até
. Para funções suaves que admitam série de Taylor, esse fato costuma implicar que o erro da quadratura é proporcional a alguma derivada de ordem
(portanto quanto maior
, melhor a precisão para funções suaves). Na prova, para verificar a classe de exatidão de uma regra, normalmente testa-se
e
para
até encontrar o primeiro
em que falha.
Passo 3
Exemplo 1 — Regra do trapézio (regra fechada com dois nós
). A regra é
Verificação:
- Para
:
- Para
:
Logo é exata para graus
e
. Teste para
:
Em geral
, então a regra falha já em
. Conclusão: a classe de exatidão do trapézio é
.
Passo 4
Exemplo 2 — Regra do ponto médio (um nó em
):
Verificação:
- Para
:
- Para
:
Logo é exata para graus
e
. Para
a igualdade não se mantém em geral; portanto a classe de exatidão é
.
Passo 5
Exemplo 3 — Regra de Simpson (três nós
, pesos
):
Verificação dos monômios:
-
: e . -
: e
-
: e
-
: e (após expansão algébrica)
Portanto Simpson é exata para
. Para
(por exemplo
em
) a igualdade falha:
enquanto
. Conclusão: classe de exatidão de Simpson é
.
Passo 6
Exemplo 4 — Quadratura de Gauss-Legendre com
nós (no intervalo padrão
sem peso). Teorema clássico: a fórmula de Gauss com
nós tem classe de exatidão
. Ilustração simples: para
os nós são
com pesos
; testa-se
e todas as igualdades
são satisfeitas, provando
naquele caso. Em geral, Gauss maximiza a classe de exatidão para um dado número de nós.
Passo 7
Como determinar a classe de exatidão na prática (procedimento passo a passo que dá pra usar na prova):
- Escreve a regra
(nós e pesos ). - Para
calcula (fórmulas fechadas) e compara com . - O maior
para o qual todas as igualdades até são verdadeiras é a classe de exatidão. Pare no primeiro onde a igualdade falha.
Obs.: essa verificação é direta e algébrica; para regras interpolatórias há também argumentos teóricos que garantem o grau (por exemplo Newton–Cotes e Gauss).
Passo 8
Resumo prático e dica de prova: “classe de exatidão” = maior grau
tal que a regra integra exatamente todos os monômios
com
. Na prova, sempre mostre os cálculos para
até encontrar a falha; isso é direto e convincente. Força aí — com esse passo a passo dá pra checar qualquer regra rápida na hora da prova.
Resposta
Definição: Uma regra de quadratura
tem classe de exatidão
se
para todo polinômio
de grau
e existe um polinômio de grau
para o qual a igualdade não vale.
Exemplos:
Trapézio: classe de exatidão .
Ponto médio: classe de exatidão .
Simpson: classe de exatidão .
Gauss-Legendre com nós: classe de exatidão
.
Exemplos:
Trapézio: classe de exatidão
Ponto médio: classe de exatidão
Simpson: classe de exatidão
Gauss-Legendre com