Defina (pesquise a definição formal) e exemplifique:
n) Classe de exatidão

Passo 1

O que o enunciado pede: definir formalmente o termo “classe de exatidão” e dar exemplos.
Informações que tenho: o pedido é genérico (não deu contexto explícito), então vou usar a definição padrão usada em regras de quadratura (aproximação de integrais) e apresentar exemplos clássicos (regra do trapézio, ponto médio, Simpson, Gauss). Vou mostrar como verificar a classe de exatidão testando polinômios monômios x^k.

Passo 2

Definição formal (forma padrão usada em quadratura). Seja uma regra de quadratura linear Q que aproxima a integral \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx por uma soma de valores pontuais
Q(f)=\sum_{i=0}^{n} w_i\,f(x_i),
onde x_i são os nós e w_i os pesos. Diz-se que a regra Q tem classe de exatidão (ou grau de exatidão, ou precisão) igual a m se:
  1. Para todo polinômio p de grau \le m vale
Q(p)=\int_{a}^{b} p(x)\,dx,
e
2. Existe pelo menos um polinômio q de grau m+1 tal que
Q(q)\ne\int_{a}^{b} q(x)\,dx.
Em outras palavras, m é o maior inteiro tal que a regra integra exatamente todos os polinômios de grau \le m.
Interpretação didática e por que isso importa. A ideia é: polinômios são uma base simples para funções suaves; se uma regra é exata para todos os polinômios até grau m, então ela reproduz perfeitamente termos até x^m. Para funções suaves que admitam série de Taylor, esse fato costuma implicar que o erro da quadratura é proporcional a alguma derivada de ordem m+1 (portanto quanto maior m, melhor a precisão para funções suaves). Na prova, para verificar a classe de exatidão de uma regra, normalmente testa-se Q(x^k) e \int_a^b x^k\,dx para k=0,1,2,\dots até encontrar o primeiro k em que falha.

Passo 3

Exemplo 1 — Regra do trapézio (regra fechada com dois nós \{a,b\}). A regra é
Q_{\text{trap}}(f)=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).
Verificação:
  • Para p(x)=1:
\int_a^b 1\,dx = b-a,\qquad Q_{\text{trap}}(1)=\frac{b-a}{2}(1+1)=b-a.
  • Para p(x)=x:
\int_a^b x\,dx=\frac{b^2-a^2}{2},\qquad Q_{\text{trap}}(x)=\frac{b-a}{2}(a+b)=\frac{b^2-a^2}{2}.
Logo é exata para graus 0 e 1. Teste para p(x)=x^2:
\int_a^b x^2\,dx=\frac{b^3-a^3}{3},
Q_{\text{trap}}(x^2)=\frac{b-a}{2}(a^2+b^2).
Em geral \dfrac{b^3-a^3}{3}\ne\dfrac{b-a}{2}(a^2+b^2), então a regra falha já em k=2. Conclusão: a classe de exatidão do trapézio é m=1.

Passo 4

Exemplo 2 — Regra do ponto médio (um nó em c=(a+b)/2):
Q_{\text{mid}}(f)=(b-a)\,f\!\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr).
Verificação:
  • Para p(x)=1:
\int_a^b 1\,dx=b-a,\qquad Q_{\text{mid}}(1)=(b-a)\cdot 1=b-a.
  • Para p(x)=x:
\int_a^b x\,dx=\frac{b^2-a^2}{2},\qquad Q_{\text{mid}}(x)=(b-a)\cdot\frac{a+b}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}.
Logo é exata para graus 0 e 1. Para x^2 a igualdade não se mantém em geral; portanto a classe de exatidão é m=1.

Passo 5

Exemplo 3 — Regra de Simpson (três nós \{a,(a+b)/2,b\}, pesos \dfrac{b-a}{6}[1,4,1]):
Q_{\text{Simpson}}(f)=\frac{b-a}{6}\bigl(f(a)+4f(\tfrac{a+b}{2})+f(b)\bigr).
Verificação dos monômios:
  • k=0: \int_a^b 1\,dx=b-a e Q_{\text{Simpson}}(1)=\dfrac{b-a}{6}(1+4+1)=b-a.
  • k=1: \int_a^b x\,dx=\dfrac{b^2-a^2}{2} e
Q_{\text{Simpson}}(x)=\frac{b-a}{6}\Bigl(a+4\cdot\frac{a+b}{2}+b\Bigr)=\frac{b-a}{6}\bigl(3(a+b)\bigr)=\frac{b^2-a^2}{2}.
  • k=2: \int_a^b x^2\,dx=\dfrac{b^3-a^3}{3} e
Q_{\text{Simpson}}(x^2)=\frac{b-a}{6}\Bigl(a^2+4\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)^2+b^2\Bigr)=\frac{b-a}{3}\bigl(a^2+ab+b^2\bigr)=\frac{b^3-a^3}{3}.
  • k=3: \int_a^b x^3\,dx=\dfrac{b^4-a^4}{4} e (após expansão algébrica)
Q_{\text{Simpson}}(x^3)=\frac{b-a}{6}\Bigl(a^3+4\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)^3+b^3\Bigr)=\frac{b-a}{4}\bigl(a^3+a^2b+ab^2+b^3\bigr)=\frac{b^4-a^4}{4}.
Portanto Simpson é exata para k=0,1,2,3. Para k=4 (por exemplo x^4 em [0,1]) a igualdade falha: \int_0^1 x^4 dx=\tfrac{1}{5} enquanto Q_{\text{Simpson}}(x^4)=\tfrac{1{,}25}{6}=\tfrac{5}{24}\ne\tfrac{1}{5}. Conclusão: classe de exatidão de Simpson é m=3.

Passo 6

Exemplo 4 — Quadratura de Gauss-Legendre com n nós (no intervalo padrão [-1,1] sem peso). Teorema clássico: a fórmula de Gauss com n nós tem classe de exatidão m=2n-1. Ilustração simples: para n=2 os nós são x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} com pesos w=1; testa-se k=0,1,2,3 e todas as igualdades \sum w_i x_i^k=\int_{-1}^{1} x^k dx são satisfeitas, provando m=3 naquele caso. Em geral, Gauss maximiza a classe de exatidão para um dado número de nós.

Passo 7

Como determinar a classe de exatidão na prática (procedimento passo a passo que dá pra usar na prova):
  1. Escreve a regra Q (nós x_i e pesos w_i).
  2. Para k=0,1,2,\dots calcula \int_a^b x^k\,dx (fórmulas fechadas) e compara com \sum_i w_i x_i^k.
  3. O maior m para o qual todas as igualdades até k=m são verdadeiras é a classe de exatidão. Pare no primeiro k onde a igualdade falha.
    Obs.: essa verificação é direta e algébrica; para regras interpolatórias há também argumentos teóricos que garantem o grau (por exemplo Newton–Cotes e Gauss).

Passo 8

Resumo prático e dica de prova: “classe de exatidão” = maior grau m tal que a regra integra exatamente todos os monômios x^k com k\le m. Na prova, sempre mostre os cálculos para k=0,1,\dots até encontrar a falha; isso é direto e convincente. Força aí — com esse passo a passo dá pra checar qualquer regra rápida na hora da prova.

Resposta

Definição: Uma regra de quadratura Q tem classe de exatidão m se Q(p)=\int_a^b p(x)\,dx para todo polinômio p de grau \le m e existe um polinômio de grau m+1 para o qual a igualdade não vale.
Exemplos:
Trapézio: classe de exatidão m=1.
Ponto médio: classe de exatidão m=1.
Simpson: classe de exatidão m=3.
Gauss-Legendre com n nós: classe de exatidão m=2n-1.

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