Defina:
Temperatura virtual.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir a expressão “temperatura virtual”.
Informações dadas: nenhuma além do pedido.
Meta deste exercício: entender o que a temperatura virtual representa fisicamente, obter sua expressão matemática a partir da lei dos gases e aprender as aproximações práticas que se usam na prova.

Passo 2

Ideia física — por que precisamos de temperatura virtual?
Quando o ar contém vapor d’água, sua densidade muda em comparação com ar seco à mesma temperatura e pressão. Como a dinâmica atmosférica e muitas fórmulas (por exemplo, para empuxo, flutuabilidade, velocidade do som) dependem da densidade, é conveniente transformar uma massa de ar úmido em um “ar seco equivalente” que tenha a mesma densidade. Esse ar seco equivalente tem uma temperatura fictícia chamada temperatura virtual. Em palavras simples: a temperatura virtual é a temperatura que o ar seco precisaria ter para ter a mesma densidade que o ar úmido, mantida a pressão constante.

Passo 3

Começando das leis dos gases — escrevendo a densidade do ar úmido.
Usamos a forma da lei dos gases para componentes gasosos. Para o ar seco (constante dos gases R_d) e para o vapor d’água (constante R_v), a densidade total \rho do ar úmido à temperatura T e pressão total p é a soma das densidades parciais:
\rho = \frac{p_d}{R_d\,T} + \frac{e}{R_v\,T},
onde:
  • p_d é a pressão parcial do ar seco,
  • e é a pressão parcial do vapor d’água (pressão de vapor),
  • p = p_d + e é a pressão total,
  • R_d e R_v são as constantes dos gases para ar seco e vapor, respectivamente,
  • T é a temperatura termodinâmica absoluta (em K).
Substituindo p_d = p - e e fatorando 1/T:
\rho = \frac{1}{T}\left(\frac{p-e}{R_d} + \frac{e}{R_v}\right).

Passo 4

Introduzindo \varepsilon e rearranjando.
Definimos a razão das constantes de gás
\varepsilon = \frac{R_d}{R_v}\quad(\text{valor numérico } \varepsilon \approx 0{,}622).é
Reescrevendo \frac{e}{R_v} = \frac{\varepsilon e}{R_d}, obtemos
\rho = \frac{1}{R_d T}\bigl(p - e + \varepsilon e\bigr) = \frac{1}{R_d T}\bigl(p - e(1-\varepsilon)\bigr).

Passo 5

Definição operacional da temperatura virtual T_v.
Queremos a temperatura T_v tal que a mesma mistura de ar úmido tenha a mesma densidade se fosse ar seco à pressão p; isto é,
\rho = \frac{p}{R_d T_v}.
Igualando essa expressão à obtida no passo anterior:
\frac{p}{R_d T_v} = \frac{1}{R_d T}\bigl(p - e(1-\varepsilon)\bigr).
Cancelando 1/R_d e isolando T_v obtemos a forma exata:
T_v = \frac{T}{1 - \dfrac{e}{p}\,(1-\varepsilon)}.

Passo 6

Interpretação da expressão exata.
Na expressão
T_v = \frac{T}{1 - \dfrac{e}{p}\,(1-\varepsilon)},
os termos significam:
  • T é a temperatura real do ar úmido (em K),
  • e/p é a fração da pressão total devida ao vapor d’água,
  • 1-\varepsilon \approx 0{,}378 é um fator que vem da diferença entre constantes dos gases.
    Como e/p\ge 0, o denominador é menor que 1, logo T_v \ge T: a temperatura virtual é maior que a temperatura real quando há vapor d’água (porque vapor torna o ar menos denso que ar seco à mesma T).

Passo 7

Forma aproximada útil em provas (em função do mixing ratio r ou da umidade específica q).
O mixing ratio r (razão massa de vapor / massa do ar seco) está relacionado com e por
r \approx \varepsilon\,\frac{e}{p}\qquad(\text{quando } e\ll p).
Substituindo e fazendo uma expansão em série para pequenas frações \dfrac{e}{p} (isto é, T_v \approx T(1 + x) com x pequeno), chega-se à aproximação prática muito usada:
T_v \approx T\bigl(1 + 0{,}61\,r\bigr),
onde o fator 0{,}61 vem numericamente de \dfrac{1-\varepsilon}{\varepsilon} (com \varepsilon\approx 0{,}622 0{,}61 aproximadamente). Se usar a umidade específica q (kg de vapor por kg de ar úmido), a constante numérica muda ligeiramente e a aproximação comumente usada é
T_v \approx T\bigl(1 + 0{,}61\,q\bigr)
quando q e r são pequenos (ordem de 10^{-3} a 10^{-2}).

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar).
Suponha T=300\\ \mathrm{K} e mixing ratio r=0{,}02 (ou seja, 20\\ \mathrm{g/kg}). Usando a aproximação:
T_v \approx 300\cdot\bigl(1 + 0{,}61\cdot 0{,}02\bigr) = 300\cdot(1 + 0{,}0122)=300\cdot 1{,}0122 \approx 303{,}66\\ \mathrm{K}.
Isto mostra que uma umidade moderada eleva a temperatura virtual alguns kelvins.

Passo 9

Dicas de prova e resumo de aplicações práticas.
  • Em questões teóricas, mostre a derivação a partir da lei dos gases (passos 3–5) se pedirem rigor.
  • Em questões numéricas rápidas, use a aproximação T_v \approx T(1 + 0{,}61\,r) com r em kg/kg.
  • Lembre: a temperatura virtual é uma ferramenta para comparar densidades — é útil em estabilidade atmosférica, cálculos de flutuabilidade e quando se quer usar fórmulas válidas para ar seco aplicadas a ar úmido.
  • Memorize a forma exata e a aproximação numérica 0{,}61 — essas aparecem muito em provas de meteorologia/atmosfera e dinâmica de fluidos.

Resposta

Temperatura virtual: a temperatura que o ar seco precisaria ter, à mesma pressão total, para ter a mesma densidade que o ar úmido considerado; expressa exatamente por T_v=\frac{T}{1-\dfrac{e}{p}\,(1-\varepsilon)} onde T é a temperatura real (K), e é a pressão parcial do vapor, p é a pressão total e \varepsilon=\dfrac{R_d}{R_v}\approx 0{,}622. Aproximação prática: T_v\approx T\bigl(1+0{,}61\,r\bigr) com r o mixing ratio (kg/kg).

Exercícios relacionados