Uma corrente de processo é aquecida como um gás de
para
, à pressão constante
. Uma rápida estimativa da energia necessária é obtida a partir da Eq. (4.3), com
considerado constante e igual ao seu valor a
. O valor de
estimado pode ser considerado alto ou baixo? Por quê?
Passo 1
O enunciado diz que um fluxo de gás é aquecido de
para
à pressão constante
. Foi pedida uma “rápida estimativa” da energia necessária usando a Eq. (4.3) com
considerado constante e igual ao seu valor em
. A pergunta é: o valor estimado de
é alto ou baixo? Explique o porquê.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Temperaturas inicial e final:
e . - Processo a pressão constante
. - Estimativa usando
constante igual a .
Passo 2
Entendendo o que representa a energia que queremos calcular. Para aquecimento de um gás a pressão constante, a energia térmica (por unidade de massa ou por mol) fornecida para elevar a temperatura de
para
é dada por
onde
é a capacidade calorífica a pressão constante, que pode depender da temperatura. Se assumirmos
constante e igual a
, a estimativa rápida (Eq. (4.3) mencionada) é
Aqui
é o calor por unidade de massa (ou por mol, dependendo da unidade de
);
deve estar em unidades absolutas (K) ou em diferença de temperatura onde a unidade cancela — a diferença numérica
em K é igual à diferença em °C.
Passo 3
Comparando a integral real com a estimativa: se
variar com
, podemos comparar integrandos. Suponha que, para
entre
e
,
Então se integrarmos ambos os lados de
a
obtemos
Logo, se
cresce com
(ou mesmo não diminui), o valor exato
é maior ou igual ao
. Em particular, se
aumenta em alguma parte do intervalo, a desigualdade é estrita e
.
Passo 4
Por que
costuma aumentar com a temperatura para gases reais? Explicação física, passo a passo e com calma:
-
mede quanto calor é necessário para aumentar a temperatura por unidade. Esse calor, microscopicamente, abastece graus de liberdade moleculares (translação, rotação, vibração, energia interna eletrônica, etc.). - À medida que a temperatura sobe, modos que estavam “congelados” (principalmente modos vibracionais em moléculas poliatômicas) começam a ser excitados. Quando um novo modo é ativado, é necessário mais energia para aumentar mais a temperatura:
aumenta. - Para gases monatomicos ideais (gases nobres), não há modos vibracionais/rotacionais adicionais, e
é praticamente constante (valor teórico por mol), então a estimativa usando é correta. - Para gases diatômicos (como
, ) a rotação já está ativa a baixas temperaturas, e a vibração só começa a contribuir a temperaturas muito altas (tipicamente milhares de K). Entre e a variação de para diatômicos é pequena — portanto a estimativa é razoável e ligeiramente baixa. - Para gases poliatômicos (vapore, hidrocarbonetos, etc.), vibracionais e outros modos podem começar a contribuir já nesta faixa de temperatura, então
pode aumentar de forma mais significativa — neste caso a estimativa usando subestima o calor necessário de forma mais pronunciada.
Passo 5
Resumo matemático da conclusão: se
cresce com
no intervalo, então
Portanto a estimativa rápida é, em geral, um subestimador (isto é, dá um valor baixo de
) quando
aumenta com a temperatura.
Passo 6
Comentário prático — o quão ruim é essa subestimação?
- Para ar ou gases diatômicos comuns, entre
e a variação de é pequena (alguns por cento). Assim é ligeiramente baixo, mas aceitável para uma “rápida estimativa”. - Para vapores complexos ou misturas com moléculas poliatômicas que têm modos vibracionais acessíveis nessa faixa, o erro pode ser significativo e a estimativa pode subestimar o calor necessário de forma considerável.
- Se quiser uma estimativa melhor sem tabelas detalhadas, use
e calcule , ou integre um polinômio de (formas usuais: ) quando disponíveis.
Passo 7
Dica de prova (ou na hora da prova): explicite o argumento com a desigualdade da integral (mostre a comparação entre a integral e o produto
) e complemente com um comentário físico curto (por exemplo, dizer que
geralmente aumenta porque mais modos moleculares são ativados). Se a questão pedir julgamento de grandeza, mencione que para ar a diferença é pequena; para gases poliatômicos pode ser grande — isso mostra que você entendeu tanto o argumento matemático quanto o físico.
Resposta
O valor estimado é baixo (subestima o calor real), porque
geralmente aumenta com a temperatura e assim
; exceção: gases monatômicos ideais, cujo
é praticamente constante.