Demonstre que a capacidade térmica a pressão constante (
) e a capacidade térmica a volume constante
estão relacionadas pela expressão:
Dica: Utilize as relações de Maxwell e a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a identidade
Informações e definições que vamos usar (fornecidas ou padrão):
- A capacidade térmica a volume constante é definida por
onde
é a entropia e
a temperatura.
- A capacidade térmica a pressão constante é definida por
- O enunciado sugere usar as relações de Maxwell e a regra da cadeia para derivadas parciais; então teremos de recorrer a uma relação de Maxwell que envolva
e .
Passo 2
Escrevemos a diferença
usando as definições:
Explicação: as duas capacidades são definidas como
vezes derivadas parciais de
em duas condições diferentes, então subtrair é direto e o fator
pode ser colocado em evidência.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para relacionar
com derivadas mantidas
-constante. Pense em
como função natural de
:
. Se queremos derivar
em que
permanece constant e
varia com
ao longo dessa isóbara, então
Justificativa intuitiva: a variação de
ao mudar
com
fixo tem duas contribuições — a mudança direta com
mantendo
fixo, mais a mudança indireta porque
também muda quando se altera
a pressão fixa.
Passo 4
Substituindo a relação do Passo 3 em
do Passo 2, os termos
cancelam, sobrando
Portanto a diferença reduz-se a um produto envolvendo
e
.
Passo 5
Agora vamos substituir
por uma derivada de pressão usando uma relação de Maxwell. Para obter essa relação, considere a função potencial livre de Helmholtz
definida por
onde
é a energia interna. A diferencial exata de
é
Dessa expressão deduz-se que
Como as derivadas parciais mistas de
são iguais (hipótese de regularidade suave do potencial), temos
Isto implica, simplificando os sinais,
Essa é a relação de Maxwell que precisamos.
Passo 6
Substituindo a relação de Maxwell encontrada no Passo 5 na expressão do Passo 4 obtemos
que é exatamente a identidade a ser demonstrada.
Passo 7
Comentário final (rápido e motivador): a demonstração ficou bem direta se lembrar das definições
e
, usar a regra da cadeia para passar de derivada em isobárica para derivadas em
e aplicar a relação de Maxwell obtida a partir de
. Isso é um padrão que aparece em vários problemas termodinâmicos — sempre que houver diferença entre quantidades a
e a
, a entropia e as relações de Maxwell costumam ser a chave. Força nos estudos — tá indo bem!