Demonstre que A=i cos alpha+j sin alpha e B=i cos beta+j sin beta, são vetores que formam ângulos alpha e beta com o eixo Ox .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que os vetores A = i cos alpha + j sin alpha e B = i cos beta + j sin beta formam ângulos alpha e beta com o eixo Ox. Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representamos um vetor no plano cartesiano. Um vetor V pode ser escrito em termos das suas componentes ao longo dos eixos i (Ox) e j (Oy) da seguinte maneira:
V = i Vx + j Vy
onde Vx é a componente na direção de Ox e Vy na direção de Oy.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes dos vetores A e B:
  • Para A:
    A = i cos alpha + j sin alpha
    Então, Ax = cos alpha e Ay = sin alpha.
  • Para B:
    B = i cos beta + j sin beta
    Então, Bx = cos beta e By = sin beta.

Passo 4

Agora, vamos lembrar que o ângulo theta que um vetor faz com o eixo Ox pode ser encontrado usando a tangente:
tan theta = VyVx
Vamos aplicar isso para os vetores A e B.

Passo 5

Para o vetor A:
tan thetaA = AyAx = sin alphacos alpha = tan alpha
Como tan thetaA = tan alpha, isso implica que thetaA = alpha (considerando que os ângulos estão no mesmo intervalo).

Passo 6

De forma semelhante, para o vetor B:
tan thetaB = ByBx = sin betacos beta = tan beta
Portanto, thetaB = beta.

Resposta

Assim, demonstramos que os vetores A e B formam, respectivamente, os ângulos alpha e beta com o eixo Ox.

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