Deseja-se encher uma caixa d’agua, localizada a 15 m de altura, no terraço de um prédio. Sabendo-se que a caixa suporta 20.000 L e que deverá encher em uma hora, calcule a potência do motor para realizar este trabalho. Caso a fonte existente seja de 120 volts, calcule a corrente que será solicitada pelo motor.
Dados:
1 Joule = 1 Watt.Segundo
1 HP =747 Watts

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a potência do motor necessária para encher a caixa d’água em uma hora; (2) calcular a corrente elétrica solicitada pelo motor se a fonte for de 120\\ \text{volts}.\n
Informações dadas:
\text{altura} = 15\\ \text{m}
\text{capacidade da caixa} = 20\,000\\ \text{L}
\text{tempo de enchimento} = 1\\ \text{hora}
1\\ \text{Joule} = 1\\ \text{W}\cdot\text{s}
1\\ \text{HP} = 747\\ \text{W}
Fonte elétrica: 120\\ \text{V}.\n
Observações que vou usar (não pedidas explicitamente, mas necessárias para calcular): vou assumir a densidade da água igual a 1\\ \text{kg/L} (portanto 1\\ \text{L} = 1\\ \text{kg}) e a aceleração da gravidade g = 9{,}8\\ \text{m/s}^2. Também vou considerar motor ideal (sem perdas) — isto significa que toda a energia fornecida ao motor vira energia potencial da água; se quiseres considerações sobre eficiência mais tarde, eu explico.

Passo 2

Converter volume de água em massa. A relação entre massa, densidade e volume é:
m = \rho \cdot V
onde m é a massa (em kg), \rho é a densidade (em \text{kg/L} ou \text{kg/m}^3) e V é o volume (em L ou \text{m}^3). Usando \rho=1\\ \text{kg/L} e V=20\,000\\ \text{L},
m = 1\\ \frac{\text{kg}}{\text{L}} \times 20\,000\\ \text{L} = 20\,000\\ \text{kg}.
Explicação rápida: cada litro de água pesa aproximadamente 1\\ \text{kg}, então 20\,000\\ \text{L} correspondem a 20\,000\\ \text{kg}.

Passo 3

Calcular o trabalho (energia) necessário para elevar essa massa até a altura de 15\\ \text{m}. A energia potencial gravitacional adquirida ao elevar uma massa m por uma altura h é dada por
\Delta E = m g h,
onde g é a aceleração da gravidade. Aqui:
m = 20\,000\\ \text{kg},\quad g = 9{,}8\\ \text{m/s}^2,\quad h = 15\\ \text{m}.
Logo,
\Delta E = 20\,000 \times 9{,}8 \times 15.
Faço a conta em passos para não nos perder:
20\,000 \times 9{,}8 = 196\,000,
196\,000 \times 15 = 2\,940\,000.
Portanto a energia necessária é
\Delta E = 2\,940\,000\\ \text{J}.
Comentário didático: 1\\ \text{J} é a energia necessária para aplicar uma força de 1\\ \text{N} ao longo de 1\\ \text{m}. Aqui a força é o peso da água m g e o deslocamento vertical é h.

Passo 4

Converter o tempo para segundos e calcular a potência média necessária. Potência média é energia dividida pelo tempo:
P = \frac{\Delta E}{t},
onde t é o tempo em segundos. Temos 1\\ \text{hora} = 3600\\ \text{s}. Então
P = \frac{2\,940\,000}{3\,600}.
Faço a divisão:
\frac{2\,940\,000}{3\,600} = 816,\overline{6}\\ \text{W}.
Arredondando com duas casas decimais:
P \approx 816,67\\ \text{W}.
Explicação: potência em Watts é Joules por segundo; aqui precisamos entregar cerca de 816,67\\ \text{J} por segundo durante uma hora para elevar toda a água.

Passo 5

Converter a potência em cavalos-vapor ( \text{HP}), usando 1\\ \text{HP} = 747\\ \text{W}. Então
\text{potência em HP} = \frac{P}{747} = \frac{816,\overline{6}}{747}.ê
Calculando:
\frac{816,\overline{6}}{747} \approx 1,093\\ \text{HP}.
Portanto, idealmente, precisamos de pouco mais de 1{,}09\\ \text{HP}. (Na prática escolhemos um motor com folga e que considere eficiência, torque, partidas, etc.)

Passo 6

Calcular a corrente elétrica solicitada pelo motor dado V=120\\ \text{V}. A relação entre potência elétrica, tensão e corrente é
P = V \cdot I,
onde I é a corrente em ampères. Assim
I = \frac{P}{V}.
Usando P = 816,\overline{6}\\ \text{W} e V = 120\\ \text{V},
I = \frac{816,\overline{6}}{120} = 6,8055\overline{5}\\ \text{A}.
Arredondando com duas casas decimais:
I \approx 6,81\\ \text{A}.
Explicação: isso é a corrente média se o motor realmente consumir exatamente a potência calculada; motores reais têm eficiência <100%, portanto a corrente real será maior.

Passo 7

Resumo das suposições feitas (importante para a prova):
  • Assumi densidade da água igual a 1\\ \text{kg/L}.
  • Usei g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
  • Considerei motor ideal (100% de eficiência) — se houver eficiência \eta do motor, dividir P por \eta para obter a potência elétrica solicitada e recalcular a corrente com essa potência maior.
  • Não considerei perdas por atrito em tubulações, altura manométrica adicional, etc.

Resposta

Potência necessária: P \approx 816,67\\ \text{W} \approx 1,093\\ \text{HP}\n
Corrente solicitada (a 120\\ \text{V}): I \approx 6,81\\ \text{A}

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