Deseja-se fabricar 1000 m de fio com diâmetro de 0,2 \mathrm{~mm}. Dispõe-se de uma trefiladora com 10 porta-fieiras e polias tratoras acionadas por motores com controle de velocidade.
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de 0,32 \mathrm{~mm}, com as seguintes propriedades:
Equação de Hollomon
\sigma=\mathrm{k}
\epsilon
n
\mathrm{k}=1217(\mathrm{MPa}) e \mathrm{n}=0,13
Limite de escoamento =669 \mathrm{MPa}
Limite de Resistência =983 \mathrm{MPa}
A redução de área máxima permitida por fieira é \mathrm{RA}=14 \%
O atrito nas fieiras é \mu=0,14
CALCULE:
Comprimento inicial do fio (m)

Passo 1

Dados fornecidos (peguei estes dados do enunciado):
  • Comprimento final desejado: L_{f}=1000\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro final: d_{f}=0,2\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro inicial do fio: d_{i}=0,32\\ \mathrm{mm}.
  • Equação de Hollomon: constantes k=1217\\ \mathrm{MPa} e n=0,13 (fornecidas).
  • Limite de escoamento: 669\\ \mathrm{MPa} (fornecido).
  • Limite de resistência: 983\\ \mathrm{MPa} (fornecido).
  • Redução de área máxima por fieira: \mathrm{RA}=14\%.
  • Atrito nas fieiras: \mu=0,14.
O que o exercício pede:
  • Calcular o comprimento inicial do fio (em metros).
Observação: o enunciado deu também propriedades mecânicas e atrito; anotar essas informações ajuda em cálculos de força e no número de passes, mas o comprimento inicial necessário depende diretamente da conservação de volume (não depende de k,n, limites ou \mu). Vou usar os dados acima para calcular L_{\text{inicial}} e em seguida verificar rapidamente quantos passes mínimos são necessários dado o limite de \mathrm{RA}=14\% por fieira.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Ao trefilar (esticar) o fio, assume-se que não há perda de material e a densidade do aço não muda. Portanto o volume inicial do fio é igual ao volume final:
L_{i}\,A_{i}=L_{f}\,A_{f},
onde:
  • L_{i} é o comprimento inicial (o que queremos),
  • L_{f} é o comprimento final (dado),
  • A_{i} é a área da seção transversal inicial,
  • A_{f} é a área da seção transversal final.
Fórmula da área de seção circular (útil aqui):
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro do fio. Vou usar essa fórmula para A_{i} e A_{f}.

Passo 3

Isolando L_{i} na relação de volumes:
L_{i}=L_{f}\,\frac{A_{f}}{A_{i}}.
Substituindo as áreas circulares:
L_{i}=L_{f}\,\frac{\dfrac{\pi d_{f}^{2}}{4}}{\dfrac{\pi d_{i}^{2}}{4}} = L_{f}\,\frac{d_{f}^{2}}{d_{i}^{2}}.
Observação didática: os fatores \pi/4 cancelam, por isso só precisamos da razão dos quadrados dos diâmetros. Isso é prático na prova pois evita cálculo de \pi.

Passo 4

Agora substituímos os números (atenção às unidades: ambos os diâmetros estão em \mathrm{mm}, então a razão é adimensional e pode ser usada diretamente):
d_{f}=0,2\\ \mathrm{mm},\qquad d_{i}=0,32\\ \mathrm{mm},\qquad L_{f}=1000\\ \mathrm{m}.
Calcule os quadrados:
d_{f}^{2}=(0,2)^{2}=0,04, \qquad d_{i}^{2}=(0,32)^{2}=0,1024.
Razão:
\frac{d_{f}^{2}}{d_{i}^{2}}=\frac{0,04}{0,1024}=0,390625.
Portanto
L_{i}=1000\times 0,390625=390{,}625\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: é o comprimento inicial que deve entrar na trefiladora para, após redução de diâmetro, obter 1000\\ \mathrm{m} de fio com 0,2\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Verificação extra (útil na prova): checar se é possível atingir essa redução usando as fieiras disponíveis sem exceder a redução de área máxima por passe \mathrm{RA}=14\%.
  • Fração de área final sobre inicial:
\frac{A_{f}}{A_{i}}=\frac{d_{f}^{2}}{d_{i}^{2}}=0,390625.
  • Redução total de área necessária:
\mathrm{RA}_{\text{total}}=1-\frac{A_{f}}{A_{i}}=1-0,390625=0,609375\\ (\text{ou }60{,}9375\%).
  • Se em cada passe a área máxima remanescente é 1-\mathrm{RA}=0,86, então após N passes a fração remanescente é 0,86^{N}. Queremos 0,86^{N}=0,390625. Tomando logaritmos:
N=\frac{\ln(0,390625)}{\ln(0,86)}\approx\frac{-0,9400072585}{-0,1508228897}\approx6{,}233.
Como não se pode ter fração de passe, é necessário arredondar para cima:
  • Número mínimo de passes = 7.
Conclusão desta verificação: com até 10 porta-fieiras disponíveis, é perfeitamente viável realizar a trefilação em 7 passes (cada passe com redução de área ≤ 14\%) — portanto a condição das fieiras não impede a obtenção do comprimento calculado.

Resposta

L_{\text{inicial}}=390{,}625\\ \mathrm{m}

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