Deseja-se resfriar óleo contido num tubo de 10 cm de diâmetro externo e com 40 aletas transversais, de 5 cm de altura e 1 mm de espessura. O óleo está a 90^{\circ} \mathrm{C} e o ar externo está a 30^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a taxa de transferência de calor pelo tubo aletado, dados:
  • \mathrm{k}_{\text {aleta }}=50 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C};
  • \mathrm{h}_{\mathrm{ar}}=10 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C};
  • h _{\text {óleo }}=600 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}ó;
  • comprimento do tubo =0,95 \mathrm{~m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Diâmetro externo do tubo: D=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Número de aletas (transversais, discos anelares): N=40.
  • Altura (extensão radial) da aleta: L=0,05\\ \mathrm{m} (ou seja, a aleta vai de r_i até r_o=r_i+L).
  • Espessura da aleta: t=0,001\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do óleo (fluido dentro): T_{\text{o}}=90^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar (externo): T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica da aleta (material): k_{\text{aleta}}=50\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}).
  • Coeficiente de convecção na parte externa (ar): h_{\text{ar}}=10\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}).
  • Coeficiente de convecção na parte interna (óleo): h_{\text{óleo}}=600\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C})ó.
  • Comprimento do tubo: L_{\text{tubo}}=0,95\\ \mathrm{m}.
O objetivo: determinar a taxa de transferência de calor total Q do tubo aletado para o ar ambiente, assumindo os dados acima.

Passo 2

Escolha do método e hipóteses físicas simples (explicando o raciocínio):
  • As aletas são discos anelares finos contínuos ao redor do tubo. Um método prático é modelar cada aleta como uma “aleta retangular equivalente” de comprimento L com convecção em ambas as faces. Essa aproximação é muito usada quando a aleta é fina (espessura pequena) e a transferência nas faces domina.
  • Vamos calcular a eficiência de uma aleta \eta_f usando a solução clássica da aleta retangular com convecção em ambas as faces: \eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(m L_c)}{m L_c}.Aqui m é o parâmetro da aleta e L_c é o comprimento corrigido (para conter efeito de ponta).
  • As fórmulas que usaremos e o significado das variáveis:
    • m=\sqrt{\dfrac{2 h_{\text{ar}}}{k_{\text{aleta}}\,t}}. Explicação: para uma aleta de espessura t que troca calor pelas duas faces com coeficiente h_{\text{ar}}, o termo 2h aparece porque há convecção nas duas faces; dividir por k t relaciona a dissipação superficial com a condução na espessura.
    • L_c=L+\dfrac{t}{2}. É o comprimento efetivo da aleta que leva em conta a convecção na ponta (correção de meia espessura).
    • A eficiência \eta_f dá a fração do calor que uma aleta real remove em comparação com a aleta ideal (com temperatura uniforme igual à base).
  • Calcular a área efetiva externa total: a parte externa fornece calor pela superfície nua do tubo + pelas aletas. Mas as aletas não trabalham com 100\% de eficiência, então a contribuição efetiva das aletas é \eta_f A_{\text{aletas,tot}}. Assim a área externa efetiva é: A_{\text{eff}}=A_{\text{nua}}+\eta_f\,A_{\text{aletas,tot}}.
  • A resistência térmica externa de convecção será R_{\text{ext}}=1/(h_{\text{ar}} A_{\text{eff}}). A resistência interna do óleo é R_{\text{int}}=1/(h_{\text{óleo}} A_{\text{interna}})ó. Negligenciaremos a resistência do metal do tubo (hipótese comum se o tubo é fino e condutividade é alta).
  • A taxa de calor: Q=\frac{T_{\text{o}}-T_{\infty}}{R_{\text{int}}+R_{\text{ext}}}.

Passo 3

Cálculo do parâmetro da aleta m e comprimento corrigido L_c.
  • Primeiro definir raios: r_i=\frac{D}{2}= \frac{0,10}{2}=0,05\\ \mathrm{m}, \qquad r_o=r_i+L=0,05+0,05=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Agora calcular m: m=\sqrt{\dfrac{2\,h_{\text{ar}}}{k_{\text{aleta}}\,t}} =\sqrt{\dfrac{2\cdot 10}{50\cdot 0,001}} =\sqrt{\dfrac{20}{0,05}} =\sqrt{400} =20\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Comprimento corrigido: L_c=L+\frac{t}{2}=0,05+\frac{0,001}{2}=0,0505\\ \mathrm{m}.
  • Produto m L_c: m L_c=20\cdot 0,0505=1,01.

Passo 4

Cálculo da eficiência da aleta \eta_f.
  • Fórmula: \eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(m L_c)}{m L_c}.
  • Calcular numericamente (usar o valor de \operatorname{tanh}(1{,}01)\approx0{,}766): \eta_f=\frac{0{,}766}{1{,}01}\approx0{,}758.
  • Interpretação: cada aleta remove cerca de 75{,}8\% do calor que removeria se toda sua superfície estivesse à temperatura da base.

Passo 5

Cálculo das áreas: área por aleta, área total de aletas e área nua do cilindro.
  • Área da face (anular) de uma aleta, por um lado: A_{\text{face}}=\pi\bigl(r_o^2-r_i^2\bigr) =\pi(0,10^2-0,05^2) =\pi(0{,}01-0{,}0025) =\pi(0{,}0075) \approx0{,}0235619\\ \mathrm{m^2}.
  • As duas faces somam: 2A_{\text{face}}\approx0{,}0471239\\ \mathrm{m^2}.
  • Área de borda externa (pequena), aproximada: A_{\text{borda}}=2\pi r_o\,t=2\pi(0,10)(0,001)\approx0{,}0006283\\ \mathrm{m^2}.
  • Área total de uma aleta (faces + borda): A_{\text{aleta}}=2A_{\text{face}}+A_{\text{borda}}\approx0{,}0477522\\ \mathrm{m^2}.
  • Área total de todas as aletas: A_{\text{aletas,tot}}=N\,A_{\text{aleta}}=40\cdot0{,}0477522\approx1{,}9101\\ \mathrm{m^2}.
  • Área externa nua do tubo (comprimento efetivo descontando a espessura ocupada pelas aletas): as aletas ocupam comprimento total N t=40\cdot0{,}001=0{,}04\\ \mathrm{m}, logo o comprimento descoberto é L_{\text{tubo}}-N t=0{,}95-0{,}04=0{,}91\\ \mathrm{m}. Então: A_{\text{nua}}=\pi D\,(L_{\text{tubo}}-N t)=\pi(0,10)(0,91)\approx0{,}28565\\ \mathrm{m^2}.
  • Área interna para convecção com o óleo (usamos comprimento total do tubo, assumindo parede fina): A_{\text{interna}}=\pi D L_{\text{tubo}}=\pi(0,10)(0,95)\approx0{,}29845\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Área externa efetiva que participa da convecção (levando em conta eficiência das aletas):
  • Área efetiva: A_{\text{eff}}=A_{\text{nua}}+\eta_f\,A_{\text{aletas,tot}} \approx0{,}28565+0{,}758\cdot1{,}9101.
  • Calcular numericamente: \eta_f\,A_{\text{aletas,tot}}\approx0{,}758\cdot1{,}9101\approx1{,}4486\\ \mathrm{m^2},
A_{\text{eff}}\approx0{,}28565+1{,}4486\approx1{,}7343\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Cálculo das resistências térmicas de convecção e da resistência total.
  • Resistência externa de convecção: R_{\text{ext}}=\frac{1}{h_{\text{ar}}\,A_{\text{eff}}} =\frac{1}{10\cdot1{,}7343}\approx0{,}05766\\ \frac{\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}}.
  • Resistência interna (óleo): R_{\text{int}}=\frac{1}{h_{\text{óleo}}\,A_{\text{interna}}} =\frac{1}{600\cdot0{,}29845}\approx0{,}005584\\ \frac{\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}}.ó
  • Resistência total (somando as duas; desprezamos a resistência do metal do tubo): R_{\text{total}}=R_{\text{int}}+R_{\text{ext}}\approx0{,}005584+0{,}05766=0{,}063244\\ \frac{\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}}.

Passo 8

Cálculo da taxa de transferência de calor Q.
  • Diferença de temperatura média: \Delta T=T_{\text{o}}-T_{\infty}=90-30=60\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Taxa de calor: Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}} =\frac{60}{0{,}063244}\approx948{,}9\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Interpretação rápida: a limitação principal é a convecção externa (o ar tem coeficiente pequeno), por isso as aletas aumentam bastante a área efetiva; a resistência interna do óleo é pequena em comparação.

Resposta

Q\approx948{,}9\\ \mathrm{kcal/h}

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