Um produto a
escoa por um tubo de aço, de 3 " de diâmetro externo, com coeficiente de película de
. O tubo vai receber 12 aletas longitudinais, de aço, de 1 mm de espessura e 6 cm de altura. O ar ambiente está a
, com coeficiente de película
. O coeficiente de condutibilidade térmica do aço é
. Pede-se:
a) o comprimento necessário do tubo, sem aletas, para se obter uma taxa de transferência de calor de
;
b) a temperatura da parede do tubo, sem aletas;
c) a taxa de transferência de calor pelo tubo aletado (usar o comprimento calculado no item “a”).
a) o comprimento necessário do tubo, sem aletas, para se obter uma taxa de transferência de calor de
b) a temperatura da parede do tubo, sem aletas;
c) a taxa de transferência de calor pelo tubo aletado (usar o comprimento calculado no item “a”).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados do enunciado:
- Temperatura do produto (fluido interno):
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Diâmetro externo do tubo:
. - Coeficiente de película no interior (fluido):
. - Coeficiente de película no exterior (ar):
. - Condutividade térmica do aço:
. - O tubo receberá
aletas longitudinais (para o item c), cada aleta com: - espessura
, - altura (raio da aleta a partir da superfície do tubo)
.
- espessura
- Taxa de calor exigida (para o item a):
.
O que o enunciado pede:
(a) o comprimento necessário do tubo, sem aletas, para obter
;
(b) a temperatura da parede do tubo (sem aletas) — isto é, a temperatura da superfície externa do tubo quando o tubo tem o comprimento encontrado em (a);
(c) a taxa de transferência de calor pelo tubo com as aletas instaladas, usando o mesmo comprimento calculado no item (a).
(a) o comprimento
(b) a temperatura da parede do tubo (sem aletas) — isto é, a temperatura da superfície externa do tubo quando o tubo tem o comprimento encontrado em (a);
(c) a taxa de transferência de calor pelo tubo com as aletas instaladas, usando o mesmo comprimento
Observação importante (assunções que farei, já que não é dada espessura do tubo):
- A espessura da parede do tubo não foi fornecida. Vou assumir que a parede é fina de modo que a área interna possa ser tomada aproximadamente igual à área externa, e que a resistência por condução na parede é desprezível relativamente às resistências convectivas (isto é uma suposição comum quando a espessura é pequena e o material tem alta condutividade, como o aço dado). Se fosse necessária a espessura, o procedimento incluiria a resistência de condução cilíndrica; explicarei como incluiria se fosse o caso.
Passo 2
Relembrando conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e concretas).
- Área lateral de um cilindro (superfície externa do tubo) e relação com comprimento:
onde
é a área externa total do tubo (m
),
é o diâmetro externo (m) e
é o comprimento (m).
- Resistências térmicas por convecção (por unidade total):
- Para a convecção interna (fluido → parede), a resistência térmica total é
onde
é o coeficiente interno e
é a área (aqui usamos a mesma
aproximada).
- Para a convecção externa (parede → ar), a resistência é
Quando a resistência por condução na parede é desprezível, a resistência total é simplesmente
- Coeficiente global
por unidade de área (quando áreas internas e externas são praticamente iguais):
A transferência de calor total é então
Isto é a fórmula que usaremos para o item (a) para achar
e, daí,
.
- Temperatura da parede externa
sem aletas:
A distribuição de quedas de temperatura em série é:
Podemos usar qualquer uma dessas para achar
.
- Para as aletas (item c) usaremos a teoria de aletas retangulares longitudinais (cada aleta é um retângulo de espessura
, altura , comprimento axial ):
- Parâmetro da aleta (por unidade axial):
onde
é o perímetro da seção transversal da aleta (por unidade axial) e
é a área da seção transversal da aleta (por unidade axial). Para uma aleta retangular de espessura
e largura unitária (1 m axial), tem-se
(duas faces) e
. Logo
- Comprimento corrigido (para considerar ponta):
. - Eficiência da aleta (para aleta de seção constante e ponta convectiva):
- Área total de uma aleta (superfície que troca calor com o ar, por aleta, comprimento axial
):
- Calor que uma aleta entrega (aproximação com eficiência):
onde
é a temperatura da base (parede exterior do tubo). Para o conjunto de aletas:
- A área descoberta do tubo (área externa do tubo não ocupada pela raiz das aletas) é
pois a projeção angular ocupada por cada aleta é
(espessura) ao longo do comprimento
. O calor dessa área é
- Assim a perda total ao ar é
- Como antes, a resistência interna é
. Fazendo balanço temos:
onde
. Em outras palavras definimos uma condutância externa equivalente
e
, e
Agora aplicamos os números.
Passo 3
Resolução do item (a): encontrar o comprimento
necessário sem aletas para
.
- Calcular
com e :
- Diferença de temperatura entre fluido e ar:
- Área requerida
(superfície externa do tubo) tal que :
Calculemos passo a passo:
- Converter área em comprimento do tubo usando
:
Portanto o comprimento necessário (sem aletas) é
.
Passo 4
Resolução do item (b): temperatura da parede do tubo sem aletas (usar
do item (a)).
- Já temos a área
e a densidade de calor por área:
(isto coincide com
, verificado anteriormente).
- Queda de temperatura no filme externo:
- Logo a temperatura da parede externa (base) é
- (checagem) Queda no filme interno:
e
, consistente. Arredondando:
.
Passo 5
Resolução do item (c): calcular a taxa de transferência de calor com as aletas instaladas, usando o mesmo comprimento
.
- Primeiro calculamos áreas com
(usar o valor mais preciso usado antes; vou manter implicitamente pelo cálculo anterior; para coerência usamos e os valores já encontrados em Passo 3: ). Para consistência nos cálculos numéricos usarei (arredondamento pequeno, impacto insignificante).
Cálculos necessários:
- Área externa do tubo (já calculada):
- Área projetada ocupada pelas raízes das aletas (a projeção angular por aleta é
):
- Área descoberta do tubo:
- Área de superfície de cada aleta:
Total de área de aletas (superfície real somada):
- Calcular
para aleta retangular (usando , , ):
- Comprimento corrigido da aleta:
Produto adimensional:
- Eficiência da aleta:
Calculemos
, logo
- Área efetiva das aletas (considerando eficiência):
- Área externa equivalente para convecção:
- Condutâncias:
- Condutância interna (fluido → parede):
- Condutância externa equivalente (parede → ar, com aletas):
- Condutância total equivalente (série
e em paralelo de resistências):
Calculemos:
- Finalmente a taxa de calor com aletas:
Arredondando,
(ou
com arredondamento de 3 dígitos significativos).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(aprox.
)