Um produto a 190^{\circ} \mathrm{C} escoa por um tubo de aço, de 3 " de diâmetro externo, com coeficiente de película de 210 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. O tubo vai receber 12 aletas longitudinais, de aço, de 1 mm de espessura e 6 cm de altura. O ar ambiente está a 24^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 18 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de condutibilidade térmica do aço é 40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se:
a) o comprimento necessário do tubo, sem aletas, para se obter uma taxa de transferência de calor de 6.900 \mathrm{kcal} / \mathrm{h};
b) a temperatura da parede do tubo, sem aletas;
c) a taxa de transferência de calor pelo tubo aletado (usar o comprimento calculado no item “a”).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados do enunciado:
  • Temperatura do produto (fluido interno): T_{f}=190^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=24^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro externo do tubo: D_{o}=3''=3\times25{,}4\\ \mathrm{mm}=0{,}0762\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de película no interior (fluido): h_{i}=210\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}\,^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película no exterior (ar): h_{o}=18\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}\,^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do aço: k=40\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}.
  • O tubo receberá N=12 aletas longitudinais (para o item c), cada aleta com:
    • espessura t=1\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m},
    • altura (raio da aleta a partir da superfície do tubo) H=6\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Taxa de calor exigida (para o item a): \dot{Q}=6\,900\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
O que o enunciado pede:
(a) o comprimento L necessário do tubo, sem aletas, para obter \dot{Q}=6\,900\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h};
(b) a temperatura da parede do tubo (sem aletas) — isto é, a temperatura da superfície externa do tubo quando o tubo tem o comprimento encontrado em (a);
(c) a taxa de transferência de calor pelo tubo com as aletas instaladas, usando o mesmo comprimento L calculado no item (a).
Observação importante (assunções que farei, já que não é dada espessura do tubo):
  • A espessura da parede do tubo não foi fornecida. Vou assumir que a parede é fina de modo que a área interna possa ser tomada aproximadamente igual à área externa, e que a resistência por condução na parede é desprezível relativamente às resistências convectivas (isto é uma suposição comum quando a espessura é pequena e o material tem alta condutividade, como o aço dado). Se fosse necessária a espessura, o procedimento incluiria a resistência de condução cilíndrica; explicarei como incluiria se fosse o caso.

Passo 2

Relembrando conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e concretas).
  1. Área lateral de um cilindro (superfície externa do tubo) e relação com comprimento:
A = \pi D_{o} L,
onde A é a área externa total do tubo (m ^2), D_{o} é o diâmetro externo (m) e L é o comprimento (m).
  1. Resistências térmicas por convecção (por unidade total):
  • Para a convecção interna (fluido → parede), a resistência térmica total é
R_{i}=\frac{1}{h_{i} A},
onde h_{i} é o coeficiente interno e A é a área (aqui usamos a mesma A aproximada).
  • Para a convecção externa (parede → ar), a resistência é
R_{o}=\frac{1}{h_{o} A}.
Quando a resistência por condução na parede é desprezível, a resistência total é simplesmente
R_{\text{tot}}=R_{i}+R_{o}=\frac{1}{h_{i}A}+\frac{1}{h_{o}A}=\frac{1}{A}\left(\frac{1}{h_{i}}+\frac{1}{h_{o}}\right).
  1. Coeficiente global U por unidade de área (quando áreas internas e externas são praticamente iguais):
U=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{i}}+\dfrac{1}{h_{o}}}=\frac{h_{i}h_{o}}{h_{i}+h_{o}}.
A transferência de calor total é então
\dot{Q}=U\,A\,(T_{f}-T_{\infty}).
Isto é a fórmula que usaremos para o item (a) para achar A e, daí, L.
  1. Temperatura da parede externa T_{s} sem aletas:
    A distribuição de quedas de temperatura em série é:
T_{f}-T_{s}=\dot{Q}\,R_{i}=\frac{\dot{Q}}{h_{i}A}, \qquad T_{s}-T_{\infty}=\dot{Q}\,R_{o}=\frac{\dot{Q}}{h_{o}A}.
Podemos usar qualquer uma dessas para achar T_{s}.
  1. Para as aletas (item c) usaremos a teoria de aletas retangulares longitudinais (cada aleta é um retângulo de espessura t, altura H, comprimento axial L):
  • Parâmetro da aleta (por unidade axial):
m=\sqrt{\frac{P h_{o}}{k A_{c}}},
onde P é o perímetro da seção transversal da aleta (por unidade axial) e A_{c} é a área da seção transversal da aleta (por unidade axial). Para uma aleta retangular de espessura t e largura unitária (1 m axial), tem-se P=2 (duas faces) e A_{c}=t\cdot 1=t. Logo
m=\sqrt{\frac{2 h_{o}}{k t}}.
  • Comprimento corrigido (para considerar ponta): L_{c}=H+\dfrac{t}{2}.
  • Eficiência da aleta (para aleta de seção constante e ponta convectiva):
\eta_{f}=\frac{\operatorname{tanh}(m L_{c})}{m L_{c}}.
  • Área total de uma aleta (superfície que troca calor com o ar, por aleta, comprimento axial L):
A_{\text{fin}}=L(2H+t) \quad\text{(duas faces + ponta)}.
  • Calor que uma aleta entrega (aproximação com eficiência):
\dot{Q}_{\text{fin}}=\eta_{f}\,h_{o}\,A_{\text{fin}}(T_{s}-T_{\infty}),
onde T_{s} é a temperatura da base (parede exterior do tubo). Para o conjunto de aletas:
\dot{Q}_{\text{aletas}}=N\,\dot{Q}_{\text{fin}}.
  • A área descoberta do tubo (área externa do tubo não ocupada pela raiz das aletas) é
A_{\text{bare}}=A - N\,t\,L,
pois a projeção angular ocupada por cada aleta é t (espessura) ao longo do comprimento L. O calor dessa área é
\dot{Q}_{\text{bare}}=h_{o}\,A_{\text{bare}}(T_{s}-T_{\infty}).
  • Assim a perda total ao ar é
\dot{Q}_{\text{out}}=\left[ h_{o}A_{\text{bare}} + N\,\eta_{f}h_{o}A_{\text{fin}} \right](T_{s}-T_{\infty}).
  • Como antes, a resistência interna é R_{i}=1/(h_{i}A). Fazendo balanço temos:
\dot{Q}=\frac{T_{f}-T_{\infty}}{R_{i} + 1/\big(h_{o}A_{\text{eq}}\big)}
onde A_{\text{eq}}=A_{\text{bare}} + N\eta_{f}A_{\text{fin}}. Em outras palavras definimos uma condutância externa equivalente G_{o}=h_{o}A_{\text{eq}} e G_{i}=h_{i}A, e
\dot{Q}=(T_{f}-T_{\infty})\frac{1}{\dfrac{1}{G_{i}}+\dfrac{1}{G_{o}}}.
Agora aplicamos os números.

Passo 3

Resolução do item (a): encontrar o comprimento L necessário sem aletas para \dot{Q}=6\,900\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  1. Calcular U com h_{i}=210 e h_{o}=18:
U=\frac{h_{i}h_{o}}{h_{i}+h_{o}}=\frac{210\cdot18}{210+18}=\frac{3\,780}{228}=16{,}578947\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}\,^\circ\mathrm{C}.
  1. Diferença de temperatura entre fluido e ar:
\Delta T = T_{f}-T_{\infty}=190-24=166^\circ\mathrm{C}.
  1. Área requerida A (superfície externa do tubo) tal que \dot{Q}=U A \Delta T:
A=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T}=\frac{6\,900}{16{,}578947\cdot166}.
Calculemos passo a passo:
U\,\Delta T = 16{,}578947\times166 \approx 2\,752{,}10\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}.
A=\frac{6\,900}{2\,752{,}10}\approx 2{,}5069\\ \mathrm{m}^{2}.
  1. Converter área em comprimento do tubo usando A=\pi D_{o} L:
L=\frac{A}{\pi D_{o}}=\frac{2{,}5069}{\pi\cdot0{,}0762}.
\pi D_{o} \approx 3{,}1416\times0{,}0762 \approx 0{,}23943\\ \mathrm{m},
L\approx\frac{2{,}5069}{0{,}23943}\approx 10{,}48\\ \mathrm{m}.
Portanto o comprimento necessário (sem aletas) é L\approx10{,}48\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Resolução do item (b): temperatura da parede do tubo sem aletas (usar L do item (a)).
  1. Já temos a área A\approx2{,}5069\\ \mathrm{m}^{2} e a densidade de calor por área:
\dot{q}''=\frac{\dot{Q}}{A}= \frac{6\,900}{2{,}5069}\approx 2\,752{,}10\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}.
(isto coincide com U\Delta T, verificado anteriormente).
  1. Queda de temperatura no filme externo:
T_{s}-T_{\infty}=\frac{\dot{q}''}{h_{o}}=\frac{2\,752{,}10}{18}\approx152{,}89^\circ\mathrm{C}.
  1. Logo a temperatura da parede externa (base) é
T_{s}=T_{\infty}+(T_{s}-T_{\infty})=24+152{,}89\approx176{,}89^\circ\mathrm{C}.
  1. (checagem) Queda no filme interno:
T_{f}-T_{s}=\frac{\dot{q}''}{h_{i}}=\frac{2\,752{,}10}{210}\approx13{,}105^\circ\mathrm{C},
e T_{s}=190-13{,}105\approx176{,}895^\circ\mathrm{C}, consistente. Arredondando: T_{s}\approx176{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Resolução do item (c): calcular a taxa de transferência de calor com as aletas instaladas, usando o mesmo comprimento L=10{,}48\\ \mathrm{m}.
  1. Primeiro calculamos áreas com L=10{,}475\ldots (usar o valor mais preciso usado antes; vou manter L=10{,}4759\\ \mathrm{m} implicitamente pelo cálculo anterior; para coerência usamos L\approx10{,}48\\ \mathrm{m} e os valores já encontrados em Passo 3: A\approx2{,}5069\\ \mathrm{m}^{2}). Para consistência nos cálculos numéricos usarei L=10{,}48\\ \mathrm{m} (arredondamento pequeno, impacto insignificante).
Cálculos necessários:
  • Área externa do tubo (já calculada):
A=\pi D_{o} L \approx 2{,}5069\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Área projetada ocupada pelas raízes das aletas (a projeção angular por aleta é t):
A_{\text{raízes}}=N\,t\,L=12\times0{,}001\times10{,}48\approx0{,}1258\\ \mathrm{m}^{2}.í
  • Área descoberta do tubo:
A_{\text{bare}}=A-A_{\text{raízes}}\approx 2{,}5069-0{,}1258=2{,}3811\\ \mathrm{m}^{2}.í
  1. Área de superfície de cada aleta:
A_{\text{fin}}=L(2H+t)=10{,}48\cdot(2\cdot0{,}06+0{,}001)=10{,}48\cdot0{,}121=1{,}2671\\ \mathrm{m}^{2}.
Total de área de aletas (superfície real somada):
N\,A_{\text{fin}}=12\times1{,}2671\approx15{,}205\\ \mathrm{m}^{2}.
  1. Calcular m para aleta retangular (usando h_{o}=18, k=40, t=0{,}001):
m=\sqrt{\frac{2h_{o}}{k t}}=\sqrt{\frac{2\cdot18}{40\cdot0{,}001}}=\sqrt{\frac{36}{0{,}04}}=\sqrt{900}=30\\ \mathrm{m}^{-1}.
  1. Comprimento corrigido da aleta:
L_{c}=H+\frac{t}{2}=0{,}06+0{,}0005=0{,}0605\\ \mathrm{m}.
Produto adimensional:
m L_{c}=30\times0{,}0605=1{,}815.
  1. Eficiência da aleta:
\eta_{f}=\frac{\operatorname{tanh}(m L_{c})}{m L_{c}}=\frac{\operatorname{tanh}(1{,}815)}{1{,}815}.
Calculemos \operatorname{tanh}(1{,}815)\approx0{,}9485, logo
\eta_{f}\approx\frac{0{,}9485}{1{,}815}\approx0{,}5226.
  1. Área efetiva das aletas (considerando eficiência):
A_{\text{fin,eff}}=N\,\eta_{f}\,A_{\text{fin}}=12\times0{,}5226\times1{,}2671\approx7{,}946\\ \mathrm{m}^{2}.
  1. Área externa equivalente para convecção:
A_{\text{eq}}=A_{\text{bare}}+A_{\text{fin,eff}}\approx2{,}3811+7{,}946=10{,}327\\ \mathrm{m}^{2}.
  1. Condutâncias:
  • Condutância interna (fluido → parede):
G_{i}=h_{i}A=210\times2{,}5069\approx526{,}45\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}.
  • Condutância externa equivalente (parede → ar, com aletas):
G_{o}=h_{o}A_{\text{eq}}=18\times10{,}327\approx185{,}886\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}.
  1. Condutância total equivalente (série G_{i} e G_{o} em paralelo de resistências):
\frac{1}{G_{\text{tot}}}=\frac{1}{G_{i}}+\frac{1}{G_{o}} \quad\Rightarrow\quad G_{\text{tot}}=\frac{1}{\dfrac{1}{G_{i}}+\dfrac{1}{G_{o}}}.
Calculemos:
\frac{1}{G_{i}}\approx\frac{1}{526{,}45}\approx0{,}001898\\ \frac{\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}},
\frac{1}{G_{o}}\approx\frac{1}{185{,}886}\approx0{,}005379\\ \frac{\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}},
\frac{1}{G_{\text{tot}}}\approx0{,}001898+0{,}005379=0{,}007277\\ \frac{\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}}.
G_{\text{tot}}\approx\frac{1}{0{,}007277}\approx137{,}39\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{C}.
  1. Finalmente a taxa de calor com aletas:
\dot{Q}_{\text{aletas}}=G_{\text{tot}}(T_{f}-T_{\infty})=137{,}39\times166\approx22\,795\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
Arredondando, \dot{Q}_{\text{aletas}}\approx22{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (ou 22\,800\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} com arredondamento de 3 dígitos significativos).

Resposta

(a) L\approx10{,}48\\ \mathrm{m}
(b) T_{s}\approx176{,}9^\circ\mathrm{C}
(c) \dot{Q}_{\text{aletas}}\approx22{,}795\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (aprox. 22{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h})

Exercícios relacionados