Desenvolva detalhadamente as equações da dinâmica longitudinal de uma aeronave convencional, indicando e descrevendo claramente as etapas da obtenção das mesmas.

Passo 1

O que o enunciado pede: desenvolver, passo a passo, as equações da dinâmica longitudinal de uma aeronave convencional, indicando e descrevendo claramente as etapas da obtenção.
Informações / hipóteses que vamos usar (todas consideradas no desenvolvimento):
  • A aeronave é rígida e simétrica em torno do plano sagital (portanto movimentos laterais desacoplados -> consideramos somente o plano longitudinal).
  • Movimento restrito ao plano vertical que contém o eixo de simetria: coordenadas do corpo x (para frente) e z (para baixo), rotação em torno do eixo de arfagem (pitch) com velocidade q.
  • Variáveis de velocidade no eixo do corpo: u (componente longitudinal, para frente) e w (componente vertical no eixo do corpo, positivo para baixo).
  • Ângulo de atitude (pitch) \theta e ângulo de ataque \alpha (ambos pequenos em análise linearizada).
  • Forças/momentos são somadas: aerodinâmica, empuxo (thrust) e gravidade.
  • Entradas de controle principais: deflexão do profundor \delta_e e variação do empuxo \delta_T.
  • Objetivo final: obter as equações não lineares básicas e, em seguida, as equações linearizadas em torno de um voo de referência (trim), expondo os chamados coeficientes de estabilidade (derivadas de estabilidade) e a forma estado-espaço para o caso longitudinal.

Passo 2

Definição de referenciais, sinais e variáveis (muito importante para não se confundir depois):
  • Eixo do corpo x: para frente; z: para baixo (convenção frequentemente usada). Assim, peso mg aponta na direção oposta a z quando a aeronave está nivelada.
  • Velocidades no corpo: u (m/s) = componente ao longo de x; w (m/s) = componente ao longo de z (positivo para baixo).
  • Velocidade total aproximada: V=\sqrt{u^{2}+w^{2}}. Para pequenas perturbações perto de um U_{0} usaremos V\approx U_{0}.
  • Ângulo de atitude (pitch): \theta (rad). Pitch rate: q=\dot{\theta} (rad/s).
  • Ângulo de ataque: \alpha. Para pequenas vibrações \alpha \approx \arctan(w/u)\approx w/U_{0} quando w\ll U_{0}.
  • Massa: m. Momento de inércia em torno do eixo de arfagem: I_{y}.
  • Superfície de asa: S. Corda aerodinâmica média (mean aerodynamic chord): \bar{c}.
  • Pressão dinâmica: \bar{q}=\tfrac{1}{2}\rho V^{2} (note que mais à frente, na linearização, avaliaremos em V=U_{0}).
  • Forças/momentos aerodinâmicos expressos via coeficientes: C_{X},C_{Z},C_{m} (funções de \alpha, q, \delta_e, etc.). Força de empuxo principal T aplicada aproximadamente ao longo do eixo x.

Passo 3

Equações de Newton–Euler no referencial do corpo (não linear, forma geral para movimento longitudinal). Para o corpo, as equações de movimento transladacional projetadas nos eixos x e z e a equação rotacional em arfagem são:
m\bigl(\dot{u}+q\,w\bigr)=X_{\text{aero}}+X_{T}+X_{g},
m\bigl(\dot{w}-q\,u\bigr)=Z_{\text{aero}}+Z_{T}+Z_{g},
I_{y}\,\dot{q}=M_{\text{aero}}+M_{T}.
Explicação de cada termo:
  • \dot{u} e \dot{w} são derivadas no referencial do corpo. Os termos q\,w e -q\,u vêm dos termos giroscópicos/Coriolis do referencial não-inercial (rotação do corpo).
  • X_{\text{aero}} e Z_{\text{aero}} são as componentes aerodinâmicas da força no eixo do corpo (em N).
  • M_{\text{aero}} é o momento aerodinâmico em torno do centro de gravidade (em N·m).
  • X_{T}, Z_{T}, M_{T} são contribuições do empuxo (thrust). Normalmente Z_{T} e M_{T} são pequenas se o motor empurra próximo ao eixo de simetria; X_T é a componente principal.
  • Componentes da gravidade projetadas no eixo do corpo (com z para baixo): projetando o vetor (0, -mg) do sistema inercial para o corpo com atitude \theta resulta em:
X_{g}=-m g \sin\theta,\qquad Z_{g}=m g \cos\theta.
Observação: o sinal advém da convenção z positivo para baixo; verificar sempre a consistência com a convenção adotada.

Passo 4

Expressando forças e momento aerodinâmicos via coeficientes aerodinâmicos (modelo usual)
  • Dinâmica aerodinâmica com pressão dinâmica \bar{q}=\tfrac{1}{2}\rho V^{2}:
X_{\text{aero}}=\bar{q} S C_{X}(\alpha,\hat{q},\delta_{e}),\qquad Z_{\text{aero}}=\bar{q} S C_{Z}(\alpha,\hat{q},\delta_{e}),
M_{\text{aero}}=\bar{q} S \bar{c}\, C_{m}(\alpha,\hat{q},\delta_{e}),
onde \hat{q} é a velocidade angular não dimensionalizada usada em aerodinâmica:
\hat{q}=\frac{q\,\bar{c}}{2U_{0}}.
Comentários didáticos:
  • C_{X}, C_{Z}, C_{m} são funções adimensionais que dependem do ângulo de ataque \alpha, da taxa de arfagem adimensional \hat{q} (que captura efeitos dependentes de q) e da deflexão do profundor \delta_{e}.
  • Alternativamente, podemos ligar C_{X} e C_{Z} aos coeficientes de arrasto C_{D} e sustentação C_{L} via decomposição geométrica (usando \alpha), mas para a linearização direta é suficiente trabalhar com os coeficientes de corpo C_{X},C_{Z},C_{m}.

Passo 5

Condições de trim e variáveis de perturbação (peça-chave para linearização)
  • Definimos um estado de referência (trim) com velocidade em marcha nivelada U_{0} e valores constantes u_{0}=U_{0}, w_{0}=0, q_{0}=0, \theta_{0} (geralmente pequeno) e entradas de controle \delta_{e0}, T_{0} que satisfazem as equações de equilíbrio (forças e momentos constantes).
  • Chamamos de perturbações:
u'=u-u_{0},\quad w'=w-w_{0}=w,\quad q'=q-q_{0}=q,\quad \theta'=\theta-\theta_{0},
\delta_{e}'=\delta_{e}-\delta_{e0},\qquad \delta_{T}'=T-T_{0}.
  • Vamos linearizar as equações de Passo 3 em torno desse ponto de operação, mantendo apenas termos lineares nas perturbações.

Passo 6

Linearização: como se procede (a técnica)
  • Para qualquer função F(x_{1},x_{2},\dots) avaliamos a expansão de Taylor em torno do ponto de trim e desprezamos termos de ordem superior a 1:
F(\mathbf{x})\approx F_{0}+\sum_{i}\left.\frac{\partial F}{\partial x_{i}}\right|_{0} x_{i}',
onde o subíndice 0 indica avaliação no ponto de trim. Os coeficientes \left.\tfrac{\partial F}{\partial x_{i}}\right|_{0} são as famosas derivadas de estabilidade (ex.: X_{u},Z_{w},M_{q}, etc.).
  • No caso de dependência de q através de \hat{q}, aplica-se a regra da cadeia: por exemplo,
\frac{\partial M_{\text{aero}}}{\partial q}\Big|_{0} = \bar{q}_{0} S \bar{c}\,\frac{\partial C_{m}}{\partial \hat{q}}\Big|_{0}\cdot\frac{\partial \hat{q}}{\partial q}\Big|_{0} = \bar{q}_{0} S \bar{c}\,\frac{\partial C_{m}}{\partial \hat{q}}\Big|_{0}\cdot\frac{\bar{c}}{2U_{0}} .
Isto mostra como os termos não-dimensionais das curvas aerodinâmicas geram coeficientes com as unidades corretas na equação de momento.

Passo 7

Aplicando linearização às equações de translação (detalhe das contas)
Começamos da forma não linear:
m\bigl(\dot{u}+q\,w\bigr)=\bar{q}S C_{X}(\alpha,\hat{q},\delta_{e})+X_{T}-m g \sin\theta,
m\bigl(\dot{w}-q\,u\bigr)=\bar{q}S C_{Z}(\alpha,\hat{q},\delta_{e})+Z_{T}+m g \cos\theta.
Linearizando em torno do trim e subtraindo o equilíbrio (os termos constantes se cancelam), obtemos (mantendo apenas termos lineares):
  • Para a equação de u:
m\dot{u}' = X_{u}\,u' + X_{w}\,w' + X_{q}\,q' + X_{\theta}\,\theta' + X_{\delta_{e}}\,\delta_{e}' + X_{T}\,\delta_{T}'.
  • Para a equação de w: lembrar que no termo q\,u aparece q'(u_{0}+u') e o produto q' u' é de segunda ordem; o termo linear dominante é q' u_{0}. Assim:
m\bigl(\dot{w}'-U_{0} q'\bigr)=Z_{u}\,u' + Z_{w}\,w' + Z_{q}\,q' + Z_{\theta}\,\theta' + Z_{\delta_{e}}\,\delta_{e}' + Z_{T}\,\delta_{T}'.
  • Observações sobre os coeficientes:
    • X_{u}=\left.\frac{\partial X}{\partial u}\right|_{0}, X_{w}=\left.\frac{\partial X}{\partial w}\right|_{0}, etc.
    • Termos envolvendo \theta' usualmente vêm da projeção da gravidade (por exemplo, para a equação de u aparece -m g \cos\theta_{0}\cdot\theta') e também da dependência de C_{X},C_{Z} em \alpha (já embutida em X_{\theta},Z_{\theta}). Em voo nivelado \theta_{0} e \alpha_{0} são pequenos e muitas vezes X_{\theta} e Z_{\theta} são escritos explicitamente só para o termo gravidade.

Passo 8

Aplicando linearização à equação de momento (detalhe das contas)
Da forma não linear:
I_{y}\,\dot{q}= \bar{q} S \bar{c}\, C_{m}(\alpha,\hat{q},\delta_{e}) + M_{T}.
Linearizando em torno do trim e retirando termos constantes resulta:
I_{y}\,\dot{q}' = M_{u}\,u' + M_{w}\,w' + M_{q}\,q' + M_{\theta}\,\theta' + M_{\delta_{e}}\,\delta_{e}' + M_{T}\,\delta_{T}'.
Normalmente M_{\theta} é pequeno porque C_{m} depende primeiramente de \alpha e de \hat{q}; por conveniência muitas formulações agrupam dependências em M_{u},M_{w} via a variação de \alpha. O termo M_{q} é geralmente importante para amortecimento em arfagem (damping).

Passo 9

Simplificações práticas e convenção comum de escrita (forma compacta)
  • É comum agrupar o efeito direto da gravidade separadamente e tomar voo nível com \theta_{0} pequeno, o que simplifica X_{\theta} e Z_{\theta}.
  • A partir das expressões lineares dos Passos 7 e 8, a forma padrão (usada em praticamente todos os textos de dinâmica de voo) para as equações de pequena perturbação longitudinais é:
m\dot{u}' = X_{u}u' + X_{w}w' + X_{q}q' + X_{\theta}\theta' + X_{\delta_{e}}\delta_{e}' + X_{T}\delta_{T}',
m(\dot{w}'-U_{0}q') = Z_{u}u' + Z_{w}w' + Z_{q}q' + Z_{\theta}\theta' + Z_{\delta_{e}}\delta_{e}' + Z_{T}\delta_{T}',
I_{y}\dot{q}' = M_{u}u' + M_{w}w' + M_{q}q' + M_{\theta}\theta' + M_{\delta_{e}}\delta_{e}' + M_{T}\delta_{T}'.
Complementarmente, a relação cinemática entre \theta' e q' é:
\dot{\theta}'=q'.
Observação didática: muitos autores definem as derivadas X_{\theta},Z_{\theta},M_{\theta} de modo que os termos de gravidade fiquem explícitos como -m g \cos\theta_{0}\theta' etc.; a forma acima mantém generalidade agrupando tudo nas derivadas parciais avaliadas no trim.

Passo 10

Explicando e calculando alguns coeficientes (como obter na prática)
  • Exemplo: como obter Z_{w}? Começamos por Z_{\text{aero}}=\bar{q} S C_{Z}(\alpha,\hat{q},\delta_{e}). Em regime de pequenas perturbações \partial Z_{\text{aero}}/\partial w = \bar{q}_{0}S\,\frac{\partial C_{Z}}{\partial \alpha}\cdot\frac{\partial\alpha}{\partial w}. Como \alpha\approx w/U_{0} para pequenas perturbações, tem-se \partial\alpha/\partial w \approx 1/U_{0}. Logo:
Z_{w}\approx\bar{q}_{0}S\,\left.\frac{\partial C_{Z}}{\partial \alpha}\right|_{0}\cdot\frac{1}{U_{0}}.
  • Exemplo: como obter M_{q}? Começamos por M_{\text{aero}}=\bar{q}S\bar{c}C_{m}(\alpha,\hat{q},\delta_{e}). A dependência em q é por \hat{q}=\tfrac{q\bar{c}}{2U_{0}}. Portanto, pela regra da cadeia:
M_{q}=\bar{q}_{0}S\bar{c}\,\left.\frac{\partial C_{m}}{\partial \hat{q}}\right|_{0}\cdot\frac{\bar{c}}{2U_{0}}.
  • Observação: muitas derivadas são obtidas experimentalmente por túneis de vento (fazendo variações controladas de \alpha,\hat{q},\delta_{e}) ou por códigos CFD; em modelos simplificados usa-se valores tabulados/estimativas.

Passo 11

Forma estado-espaço (escolha de estados e entradas)
  • Escolhemos como vetor de estados clássicos para longitudinal:
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}u'\\\ w'\\\ q'\\\ \theta'\end{bmatrix},
entradas
\mathbf{u}=\begin{bmatrix}\delta_{e}'\\\ \delta_{T}'\end{bmatrix}.
  • Reescrevendo as equações lineares dos Passos anteriores numa forma matricial \dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} + B \mathbf{u}, obtemos (após reorganizar os termos e dividir por m quando necessário):
Forma com o sistema escrito explicitamente (coeficientes agrupados):
\begin{bmatrix}\dot{u}'\\[4pt]\dot{w}'\\[4pt]\dot{q}'\\[4pt]\dot{\theta}'\end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} \dfrac{X_{u}}{m} & \dfrac{X_{w}}{m} & \dfrac{X_{q}}{m} & \dfrac{X_{\theta}}{m}\\[6pt] \dfrac{Z_{u}}{m} & \dfrac{Z_{w}}{m} & \dfrac{Z_{q}}{m}-U_{0} & \dfrac{Z_{\theta}}{m}\\[6pt] \dfrac{M_{u}}{I_{y}} & \dfrac{M_{w}}{I_{y}} & \dfrac{M_{q}}{I_{y}} & \dfrac{M_{\theta}}{I_{y}}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \begin{bmatrix}u'\\\ w'\\\ q'\\\ \theta'\end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix} \dfrac{X_{\delta_{e}}}{m} & \dfrac{X_{T}}{m}\\[6pt] \dfrac{Z_{\delta_{e}}}{m} & \dfrac{Z_{T}}{m}\\[6pt] \dfrac{M_{\delta_{e}}}{I_{y}} & \dfrac{M_{T}}{I_{y}}\\[6pt] 0 & 0 \end{bmatrix}}_{B} \begin{bmatrix}\delta_{e}'\\\ \delta_{T}'\end{bmatrix}.
  • Nota sobre o termo \dfrac{Z_{q}}{m}-U_{0} em A_{23}: a aparição de -U_{0} vem do termo m(\dot{w}'-U_{0}q') que desloca U_{0}q' para o lado direito quando escrevemos \dot{w}'. Alguns autores preferem manter m(\dot{w}'-U_{0}q') na forma multiplicativa; aquí já isolamos \dot{w}'.]

Passo 12

Interpretação física e usos práticos das equações
  • Os coeficientes X_{u},X_{w} representam como as forças ao longo do eixo x mudam com variações de u e w (efeitos de arrasto e componentes de sustentação projetadas); Z_{u},Z_{w} representam variação da força z (sustentação/arrasto) com as velocidades; M_{q} é o amortecimento em arfagem (influência de q sobre o momento) e é crucial para estabilizar o modo de curto prazo (phugoid e short-period são modos que aparecem da análise modal dessas matrizes A).
  • Em provas/avaliações: saber montar as equações, identificar de onde vem cada termo (gravidade, arrasto, sustentação, momento) e saber linearizar por séries de Taylor é frequentemente pedido. Também é comum pedir a forma reduzida para os modos short-period (eliminando u' por exemplo) — mas isto seria um passo além da derivação fundamental que fizemos aqui.

Resposta

m\dot{u}' = X_{u}u' + X_{w}w' + X_{q}q' + X_{\theta}\theta' + X_{\delta_{e}}\delta_{e}' + X_{T}\delta_{T}',
m\bigl(\dot{w}'-U_{0}q'\bigr) = Z_{u}u' + Z_{w}w' + Z_{q}q' + Z_{\theta}\theta' + Z_{\delta_{e}}\delta_{e}' + Z_{T}\delta_{T}',
I_{y}\dot{q}' = M_{u}u' + M_{w}w' + M_{q}q' + M_{\theta}\theta' + M_{\delta_{e}}\delta_{e}' + M_{T}\delta_{T}',
\dot{\theta}' = q',
ou, na forma estado-espaço com \mathbf{x}=[u'\; w'\; q'\; \theta']^{T} e \mathbf{u}=[\delta_{e}'\; \delta_{T}']^{T},
\dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \dfrac{X_{u}}{m} & \dfrac{X_{w}}{m} & \dfrac{X_{q}}{m} & \dfrac{X_{\theta}}{m}\\[6pt] \dfrac{Z_{u}}{m} & \dfrac{Z_{w}}{m} & \dfrac{Z_{q}}{m}-U_{0} & \dfrac{Z_{\theta}}{m}\\[6pt] \dfrac{M_{u}}{I_{y}} & \dfrac{M_{w}}{I_{y}} & \dfrac{M_{q}}{I_{y}} & \dfrac{M_{\theta}}{I_{y}}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x} + \begin{bmatrix} \dfrac{X_{\delta_{e}}}{m} & \dfrac{X_{T}}{m}\\[6pt] \dfrac{Z_{\delta_{e}}}{m} & \dfrac{Z_{T}}{m}\\[6pt] \dfrac{M_{\delta_{e}}}{I_{y}} & \dfrac{M_{T}}{I_{y}}\\[6pt] 0 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{u}.]

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